Seja
uma matriz
. O sistema linear
tem uma solução única se, e só se,
for uma matriz invertível.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre sistemas lineares envolvendo matrizes quadradas. Especificamente, quer saber quando o sistema
tem uma solução única. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes invertíveis e como elas se relacionam com soluções únicas de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Podemos reescrever essa equação como
. Fatorando, temos:
Aqui,
é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela.
Passo 3
Agora, a equação
é um sistema homogêneo. Sabemos que:
- Se uma matriz
é invertível, então o único solução para é . - Se
não for invertível, existem infinitas soluções além da trivial .
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, se
for invertível, então a única solução para
é
. Isso significa que o sistema
tem uma solução única.
Passo 5
Por outro lado, se
não for invertível, isso significa que o sistema
tem infinitas soluções. Portanto,
também teria infinitas soluções, e não uma única.
Resposta
O sistema linear
tem uma solução única se, e somente se, a matriz
for invertível.