Seja A uma matriz n times n. O sistema linear A x=4 x tem uma solução única se, e só se, A-4 I for uma matriz invertível.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre sistemas lineares envolvendo matrizes quadradas. Especificamente, quer saber quando o sistema tem uma solução única. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes invertíveis e como elas se relacionam com soluções únicas de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (A - 4I) x = 0 . Podemos reescrever essa equação como . Fatorando, temos:
Aqui, é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela.

Passo 3

Agora, a equação é um sistema homogêneo. Sabemos que:
  • Se uma matriz é invertível, então o único solução para é .
  • Se não for invertível, existem infinitas soluções além da trivial .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, se for invertível, então a única solução para é . Isso significa que o sistema tem uma solução única.

Passo 5

Por outro lado, se não for invertível, isso significa que o sistema tem infinitas soluções. Portanto, também teria infinitas soluções, e não uma única.

Resposta

O sistema linear tem uma solução única se, e somente se, a matriz for invertível.

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