Sejam
uma matriz
e
uma matriz
invertível. Se
for uma solução do sistema linear
, então
será uma solução do sistema linear
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas
e
, onde
é invertível. O exercício fala sobre sistemas lineares e transformações usando essas matrizes. Nosso objetivo é mostrar que se
resolve o sistema
, então
resolve o sistema
. Vamos precisar entender de matrizes invertíveis e como elas interagem em equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é invertível, então existe uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Isso é importante porque nos permite “desfazer” a multiplicação por
.
Passo 3
Sabemos que
é solução de
. Então, podemos reescrever isso multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Usando a propriedade das matrizes,
, então:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos chamar
de
. Assim, a equação fica:
Isso mostra que
é uma solução do sistema
.
Resposta
Assim,
é uma solução do sistema linear
.
Exercícios relacionados
Seja
uma base para o espaço vetorial
das matrizes reais simétrica
. Encontre as coordenadas da matriz
em relação à base
, onde:
(b)
(b)
Calcule os autovalores da matriz
dada por
Faça uma mudança de coordenadas conveniente para simplificar a equação abaixo e reconheça a cônica correspondente. Faça um esboço da mesma.
A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?