Sejam A uma matriz n times n e S uma matriz n times n invertível. Se x for uma solução do sistema linear (S^-1 A S) x=b, então S x será uma solução do sistema linear A y=S b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas A e S, onde S é invertível. O exercício fala sobre sistemas lineares e transformações usando essas matrizes. Nosso objetivo é mostrar que se x resolve o sistema (S^-1 A S) x = b, então S x resolve o sistema A y = S b. Vamos precisar entender de matrizes invertíveis e como elas interagem em equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se S é invertível, então existe uma matriz S^-1 tal que S^-1 S = I, onde I é a matriz identidade. Isso é importante porque nos permite “desfazer” a multiplicação por S.

Passo 3

Sabemos que x é solução de (S^-1 A S) x = b. Então, podemos reescrever isso multiplicando ambos os lados por S:
S (S^-1 A S) x = S b

Passo 4

Usando a propriedade das matrizes, S S^-1 = I, então:
I A S x = S b
Simplificando, temos:
A S x = S b

Passo 5

Vamos chamar S x de y. Assim, a equação fica:
A y = S b
Isso mostra que y = S x é uma solução do sistema A y = S b.

Resposta

Assim, S x é uma solução do sistema linear A y = S b.

Exercícios relacionados