Sejam uma matriz e uma matriz invertível. Se for uma solução do sistema linear , então será uma solução do sistema linear .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas e , onde é invertível. O exercício fala sobre sistemas lineares e transformações usando essas matrizes. Nosso objetivo é mostrar que se resolve o sistema , então resolve o sistema . Vamos precisar entender de matrizes invertíveis e como elas interagem em equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se é invertível, então existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso é importante porque nos permite “desfazer” a multiplicação por .

Passo 3

Sabemos que é solução de . Então, podemos reescrever isso multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Usando a propriedade das matrizes, , então:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos chamar de . Assim, a equação fica:
Isso mostra que é uma solução do sistema .

Resposta

Assim, é uma solução do sistema linear .

Exercícios relacionados

Seja uma base para o espaço vetorial das matrizes reais simétrica . Encontre as coordenadas da matriz em relação à base , onde:
(b)
Calcule os autovalores da matriz dada por
Faça uma mudança de coordenadas conveniente para simplificar a equação abaixo e reconheça a cônica correspondente. Faça um esboço da mesma.
A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?