Seja uma base para o espaço vetorial das matrizes reais simétrica . Encontre as coordenadas da matriz em relação à base , onde:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas da matriz em relação à base , que é formada por três matrizes simétricas . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares e mudanças de base. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações que relaciona com as matrizes da base .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a relação que precisamos resolver. Queremos encontrar escalares tais que:
Onde:

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
  1. Para a posição (1,1):
  1. Para a posição (1,2):
  1. Para a posição (2,2):

Passo 5

Temos agora um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos nas outras equações:
  1. Na primeira equação:
çã
  1. Na segunda equação:
çã

Passo 7

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver pela substituição. Da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:

Passo 8

Com , encontramos :
E usando na expressão para :

Resposta

As coordenadas da matriz em relação à base são .

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Seja uma matriz . O sistema linear tem uma solução única se, e só se, for uma matriz invertível.
Sejam uma matriz e uma matriz invertível. Se for uma solução do sistema linear , então será uma solução do sistema linear .
Faça uma mudança de coordenadas conveniente para simplificar a equação abaixo e reconheça a cônica correspondente. Faça um esboço da mesma.