Seja uma base para o espaço vetorial das matrizes reais simétrica . Encontre as coordenadas da matriz em relação à base , onde:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas da matriz em relação à base , que é formada por três matrizes simétricas . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares e mudanças de base. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações que relaciona com as matrizes da base .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a relação que precisamos resolver. Queremos encontrar escalares tais que:
Onde:
Passo 3
Vamos expandir a combinação linear:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
Para a posição (1,1):
Para a posição (1,2):
Para a posição (2,2):
Passo 5
Temos agora um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 6
Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos nas outras equações:
Na primeira equação:
çã
Na segunda equação:
çã
Passo 7
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver pela substituição. Da segunda equação: