Seja B=(cc1 & -1 -1 & 2),(cc4 & 1 1 & 0),(cc3 & -2 -2 & 1) uma base para o espaço vetorial W das matrizes reais simétrica 2 times 2. Encontre as coordenadas da matriz A in W em relação à base B, onde:
(b) A=(ll1 & 2 2 & 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas da matriz 1 & 2 2 & 4 em relação à base , que é formada por três matrizes simétricas . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares e mudanças de base. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações que relaciona com as matrizes da base .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a relação que precisamos resolver. Queremos encontrar escalares A = c1 cdot B1 + c2 cdot B2 + c3 cdot B3 tais que:
B1 = 1 & -1 -1 & 2, B2 = 4 & 1 1 & 0, B3 = 3 & -2 -2 & 1
Onde:

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
1 & 2 2 & 4 = c1 1 & -1 -1 & 2 + c2 4 & 1 1 & 0 + c3 3 & -2 -2 & 1
Isso resulta em:
1 & 2 2 & 4 = c1 + 4c2 + 3c3 & -c1 + c2 - 2c3 -c1 + c2 - 2c3 & 2c1 + 0c2 + c3

Passo 4

Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
  1. Para a posição (1,1):
c1 + 4c2 + 3c3 = 1
  1. Para a posição (1,2):
-c1 + c2 - 2c3 = 2
  1. Para a posição (2,2):
2c1 + c3 = 4

Passo 5

Temos agora um sistema de três equações com três incógnitas:
c1 + 4c2 + 3c3 = 1 -c1 + c2 - 2c3 = 2 2c1 + c3 = 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Primeiro, da terceira equação:
2c1 + c3 = 4 Rightarrow c3 = 4 - 2c1
Agora, substituímos c1 + 4c2 + 3(4 - 2c1) = 1 c1 + 4c2 + 12 - 6c1 = 1 -5c1 + 4c2 = -11 (Equação 1a) nas outras equações:
  1. Na primeira equação:
-c1 + c2 - 2(4 - 2c1) = 2 -c1 + c2 - 8 + 4c1 = 2 3c1 + c2 = 10 (Equação 2a) çã
  1. Na segunda equação:
çã

Passo 7

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
-5c1 + 4c2 = -11 3c1 + c2 = 10
Vamos resolver pela substituição. Da segunda equação:
c2 = 10 - 3c1
Substituímos -5c1 + 4(10 - 3c1) = -11 -5c1 + 40 - 12c1 = -11 -17c1 = -51 c1 = 3 na primeira equação:

Passo 8

Com c2 = 10 - 3(3) = 10 - 9 = 1 , encontramos c3 = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2 :
E usando na expressão para :

Resposta

As coordenadas da matriz em relação à base são .

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