Considere as bases ordenadas B=1,1+t, 1+t^2 e C a base canônica de P2(R).
(a) Encontre as matrizes de mudança da base B para a C, isto é MB^C, e da base C para a base B, isto é MC^B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear sobre mudança de base. Especificamente, queremos encontrar as matrizes que convertem coordenadas da base para a base canônica e vice-versa. Para isso, vamos precisar entender como representar os vetores de uma base na outra e usar algumas propriedades de matrizes de troca de base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de 1 = 1 cdot 1 + 0 cdot t + 0 cdot t^2 para 1 0 0 , que chamaremos de 1 + t = 1 cdot 1 + 1 cdot t + 0 cdot t^2 . Isso significa que queremos expressar cada vetor da base 1 1 0 em termos da base 1 + t^2 = 1 cdot 1 + 0 cdot t + 1 cdot t^2 .
Vamos escrever cada elemento de 1 0 1 como combinação linear dos elementos de :
  1. Para o primeiro vetor de :
    Então, as coordenadas são .
  2. Para o segundo vetor de :
    As coordenadas são .
  3. Para o terceiro vetor de :
    As coordenadas são .

Passo 3

Agora, montamos a matriz MB^C = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 colocando essas coordenadas como colunas:
Isso significa que para converter um vetor da base para a base , multiplicamos pelas colunas de .

Passo 4

Para encontrar a matriz de mudança de base de MC^B = (MB^C)^-1 = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ^-1 = 1 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 para , ou seja, , precisamos basicamente inverter a matriz que já encontramos, .
Calculando a inversa de :

Resposta

A matriz de mudança de base de MB^C = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 para MC^B = 1 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 é:
E a matriz de mudança de base de para é:

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