Considere as bases ordenadas e a base canônica de .
(a) Encontre as matrizes de mudança da base para a , isto é , e da base para a base , isto é .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear sobre mudança de base. Especificamente, queremos encontrar as matrizes que convertem coordenadas da base para a base canônica e vice-versa. Para isso, vamos precisar entender como representar os vetores de uma base na outra e usar algumas propriedades de matrizes de troca de base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de para , que chamaremos de . Isso significa que queremos expressar cada vetor da base em termos da base .
Vamos escrever cada elemento de como combinação linear dos elementos de :
Para o primeiro vetor de :
Então, as coordenadas são .
Para o segundo vetor de :
As coordenadas são .
Para o terceiro vetor de :
As coordenadas são .
Passo 3
Agora, montamos a matriz colocando essas coordenadas como colunas:
Isso significa que para converter um vetor da base para a base , multiplicamos pelas colunas de .
Passo 4
Para encontrar a matriz de mudança de base de para , ou seja, , precisamos basicamente inverter a matriz que já encontramos, .