Considere as bases ordenadas e a base canônica de .
(a) Encontre as matrizes de mudança da base para a , isto é , e da base para a base , isto é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear sobre mudança de base. Especificamente, queremos encontrar as matrizes que convertem coordenadas da base para a base canônica e vice-versa. Para isso, vamos precisar entender como representar os vetores de uma base na outra e usar algumas propriedades de matrizes de troca de base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de para , que chamaremos de . Isso significa que queremos expressar cada vetor da base em termos da base .
Vamos escrever cada elemento de como combinação linear dos elementos de :
  1. Para o primeiro vetor de :
    Então, as coordenadas são .
  2. Para o segundo vetor de :
    As coordenadas são .
  3. Para o terceiro vetor de :
    As coordenadas são .

Passo 3

Agora, montamos a matriz colocando essas coordenadas como colunas:
Isso significa que para converter um vetor da base para a base , multiplicamos pelas colunas de .

Passo 4

Para encontrar a matriz de mudança de base de para , ou seja, , precisamos basicamente inverter a matriz que já encontramos, .
Calculando a inversa de :

Resposta

A matriz de mudança de base de para é:
E a matriz de mudança de base de para é:

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