Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto R^2, com a operação usual de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por alpha cdot v=alpha(x, y)=(alpha cdot x, y).

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se o conjunto com a operação usual de adição e uma multiplicação por escalar específica é um espaço vetorial. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um espaço vetorial e checar se todas essas regras são satisfeitas com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa cumprir alguns axiomas básicos, como existência de um elemento neutro, associatividade, comutatividade da adição, existência de inversos, distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores e de escalares, entre outros.

Passo 3

Vamos começar verificando o elemento neutro na adição. No usual, o elemento neutro é o vetor , porque qualquer vetor somado a ele permanece o mesmo. Isso está ok.

Passo 4

Agora, vamos ver se a adição é comutativa. Ou seja, se para quaisquer vetores e . Com a adição usual, isso também funciona direitinho.

Passo 5

O próximo passo é verificar a existência de inversos aditivos. Para cada vetor , existe um vetor tal que . Isso também está correto.

Passo 6

Agora, vamos olhar para a multiplicação por escalar definida na questão: . Precisamos ver se isso satisfaz os axiomas de multiplicação por escalar.

Passo 7

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores. Ou seja, se alpha cdot (u + v) = alpha cdot (x1 + x2, y1 + y2) = (alpha(x1 + x2), y1 + y2) .
Tomando alpha cdot u + alpha cdot v = (alpha x1, y1) + (alpha x2, y2) = (alpha x1 + alpha x2, y1 + y2) e (alpha(x1 + x2), y1 + y2) = (alpha x1 + alpha x2, y1 + y2) , temos:
Por outro lado,
Comparando os dois resultados, vemos que:
Isso está certo, então a distributividade sobre a adição de vetores funciona.

Passo 8

Vamos agora verificar a distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares. Ou seja, se (alpha + beta) cdot v = ((alpha + beta)x, y) .
Calculando cada lado:
alpha cdot v + beta cdot v = (alpha x, y) + (beta x, y) = (alpha x + beta x, y + y) = ((alpha + beta)x, 2y)
((alpha + beta)x, y) neq ((alpha + beta)x, 2y)
Comparando:
Aqui a segunda componente não é igual, a menos que , o que nem sempre é o caso.

Passo 9

Como a distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares não é válida para todos os vetores em , isso já quebra um dos axiomas necessários para ser um espaço vetorial.

Resposta

Não, o conjunto com as operações especificadas não forma um espaço vetorial.

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