Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto , com a operação usual de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por .
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se o conjunto com a operação usual de adição e uma multiplicação por escalar específica é um espaço vetorial. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um espaço vetorial e checar se todas essas regras são satisfeitas com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa cumprir alguns axiomas básicos, como existência de um elemento neutro, associatividade, comutatividade da adição, existência de inversos, distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores e de escalares, entre outros.
Passo 3
Vamos começar verificando o elemento neutro na adição. No usual, o elemento neutro é o vetor , porque qualquer vetor somado a ele permanece o mesmo. Isso está ok.
Passo 4
Agora, vamos ver se a adição é comutativa. Ou seja, se para quaisquer vetores e . Com a adição usual, isso também funciona direitinho.
Passo 5
O próximo passo é verificar a existência de inversos aditivos. Para cada vetor , existe um vetor tal que . Isso também está correto.
Passo 6
Agora, vamos olhar para a multiplicação por escalar definida na questão: . Precisamos ver se isso satisfaz os axiomas de multiplicação por escalar.
Passo 7
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores. Ou seja, se .
Tomando e , temos:
Por outro lado,
Comparando os dois resultados, vemos que:
Isso está certo, então a distributividade sobre a adição de vetores funciona.
Passo 8
Vamos agora verificar a distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares. Ou seja, se .
Calculando cada lado:
Comparando:
Aqui a segunda componente não é igual, a menos que , o que nem sempre é o caso.
Passo 9
Como a distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares não é válida para todos os vetores em , isso já quebra um dos axiomas necessários para ser um espaço vetorial.
Resposta
Não, o conjunto com as operações especificadas não forma um espaço vetorial.