Calcule: b) integral e^3 x cdot cos 2 x,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente, vamos usar a técnica de integração por partes para resolver. Precisamos lembrar da fórmula da integração por partes e como aplicá-la quando temos um produto de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que simplifica ao derivar e como a que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos escolher:
u = e^3x Rightarrow du = 3e^3x dx
dv = cos(2x) dx Rightarrow v = sin(2x)2
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral e^3x cos(2x) dx = e^3x cdot sin(2x)2 - integral sin(2x)2 cdot 3e^3x dx
Simplificando:
= e^3x sin(2x)2 - 32 integral e^3x sin(2x) dx
Agora, temos uma nova integral: . Vamos resolver essa integral usando novamente a integração por partes.

Passo 5

Para resolver u = e^3x Rightarrow du = 3e^3x dx , escolhemos:
dv = sin(2x) dx Rightarrow v = -cos(2x)2
integral e^3x sin(2x) dx = -e^3x cos(2x)2 + 32 integral e^3x cos(2x) dx
Aplicando a fórmula:
integral e^3x cos(2x) dx = e^3x sin(2x)2 - 32 ( -e^3x cos(2x)2 + 32 integral e^3x cos(2x) dx )
Agora, substituímos de volta na equação anterior:
integral e^3x cos(2x) dx = e^3x sin(2x)2 + 3e^3x cos(2x)4 - 94 integral e^3x cos(2x) dx
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos isolar a integral integral e^3x cos(2x) dx + 94 integral e^3x cos(2x) dx = e^3x sin(2x)2 + 3e^3x cos(2x)4 :
134 integral e^3x cos(2x) dx = e^3x sin(2x)2 + 3e^3x cos(2x)4
Somando os termos:
integral e^3x cos(2x) dx = 413 ( e^3x sin(2x)2 + 3e^3x cos(2x)4 )
Dividindo ambos os lados por = 2e^3x sin(2x)13 + 3e^3x cos(2x)13 :
Simplificando:

Resposta

integral e^3x cos(2x) dx = 2e^3x sin(2x) + 3e^3x cos(2x)13 + C

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