Sejam e .
Seja o plano que contém e . Obtenha uma equação geral para o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão é encontrar a equação geral do plano que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Precisaremos encontrar um vetor normal ao plano e usar as coordenadas dos pontos para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano pode ser escrita como:
Aqui, é o vetor normal ao plano, que é perpendicular ao plano .

Passo 3

Para encontrar o vetor normal, vamos calcular dois vetores que estão no plano . Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dado:
Vamos calcular os vetores e :

Passo 4

Agora que temos os vetores e , vamos calcular o produto vetorial deles para encontrar o vetor normal ao plano:
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal é:

Passo 5

Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a forma da equação do plano:
Substituindo , , e as coordenadas de :
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:

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Calcule:
s) ,
Considere as retas
Elas são paralelas? Elas se intersectam?
Calcule: b) ,
Dois besouros estão andando sobre retas no espaço tridimensional.
No instante o besouro 1 está no ponto e, no mesmo instante o besouro 2 está no ponto . Quais das afirmações abaixo são corretas?
(A) Os dois besouros andam em trajetórias paralelas.
(B) Os dois besouros andam em trajetórias ortogonais.
© Os dois besouros andam em um mesmo plano do espaço tridimensional.
(D) Os dois besouros se encontram em algum instante.
(E) Os dois besouros nunca se tocam e suas trajetórias são retas que não se cruzam.