Dois besouros estão andando sobre retas no espaço tridimensional.
No instante o besouro 1 está no ponto e, no mesmo instante o besouro 2 está no ponto . Quais das afirmações abaixo são corretas?
(A) Os dois besouros andam em trajetórias paralelas.
(B) Os dois besouros andam em trajetórias ortogonais.
© Os dois besouros andam em um mesmo plano do espaço tridimensional.
(D) Os dois besouros se encontram em algum instante.
(E) Os dois besouros nunca se tocam e suas trajetórias são retas que não se cruzam.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois besouros andando em linhas retas no espaço tridimensional. As posições deles em qualquer instante são dadas pelas equações paramétricas:
  • Besouro 1:
  • Besouro 2:
Queremos verificar quais das afirmações (A) a (E) estão corretas sobre as trajetórias desses besouros.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as direções das trajetórias de cada besouro. Nas equações paramétricas de uma reta, os coeficientes de representam os vetores direção.
  • Direção do Besouro 1:
  • Direção do Besouro 2:
Esses vetores vão nos ajudar a analisar paralelismo, ortogonalidade e outros aspectos das trajetórias.

Passo 3

Vamos verificar a opção (A): “Os dois besouros andam em trajetórias paralelas.”
Duas retas são paralelas se seus vetores direção são proporcionais, ou seja, se um vetor é múltiplo escalar do outro.
Vamos ver se existe um número tal que :
Da primeira equação, . Mas na terceira equação, não é verdade. Portanto, não existe um que satisfaça todas as componentes. Logo, as trajetórias não são paralelas.

Passo 4

Agora, vamos para a opção (B): “Os dois besouros andam em trajetórias ortogonais.”
Duas retas são ortogonais se seus vetores direção são perpendiculares, ou seja, se o produto escalar entre eles é zero.
Calculando o produto escalar:
Como , as trajetórias não são ortogonais.

Passo 5

Vamos analisar a opção ©: “Os dois besouros andam em um mesmo plano do espaço tridimensional.”
Duas retas no espaço tridimensional podem ou não estar no mesmo plano. Para estarem no mesmo plano, precisamos verificar se existe uma combinação linear dos vetores direção que relaciona os pontos das retas.
Podemos considerar um ponto de cada reta e ver se os vetores são coplanares.
Ponto do Besouro 1 quando :
Ponto do Besouro 2 quando :
Vetores:
Vetor entre os pontos e :
Agora, vamos calcular o determinante para ver se os vetores são coplanares:
Calculando:
Como o determinante é zero, os vetores são coplanares, ou seja, as trajetórias dos besouros estão no mesmo plano.

Passo 6

Vamos verificar a opção (D): “Os dois besouros se encontram em algum instante.”
Para isso, precisamos encontrar se existe um valor de que satisfaça as duas equações paramétricas simultaneamente.
Igualando as coordenadas:
Analisando a primeira equação:
Isso não faz sentido, ou seja, não há valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, os besouros não se encontram em nenhum instante.

Passo 7

Por fim, vamos considerar a opção (E): “Os dois besouros nunca se tocam e suas trajetórias são retas que não se cruzam.”
Sabemos pela análise anterior que os besouros nunca se encontram e que suas trajetórias não são paralelas (a opção A está incorreta). Além disso, já verificamos que as retas estão no mesmo plano. Portanto, as trajetórias se cruzam apenas se houver um ponto comum, o que já vimos que não ocorre.
Assim, a afirmação de que nunca se tocam e que as trajetórias são retas que não se cruzam está incorreta.

Resposta

As afirmações corretas são:
  • © Os dois besouros andam em um mesmo plano do espaço tridimensional.
  • (E) Os dois besouros nunca se tocam e suas trajetórias são retas que não se cruzam.

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Calcule: b) ,
Sejam e .
Seja o plano que contém e . Obtenha uma equação geral para o plano .
Calcule: g) ,
Sejam e .
Seja a reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano . Obtenha equações paramétricas para a reta .