Calcule: g) integral0^1 x^3 cdot e^-x d x,

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de 0 a 1. Esse tipo de integral pertence ao estudo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica várias vezes até simplificarmos a expressão totalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
onde e são partes da função que vamos escolher de forma estratégica para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos escolher u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 , dx e dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x da seguinte forma:
Essa escolha é feita porque derivar reduz o grau do polinômio, facilitando etapas futuras.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^3 e^-x , dx = -x^3 e^-x + integral 3x^2 e^-x , dx
Agora, temos uma nova integral que também precisa ser resolvida por partes.

Passo 5

Vamos repetir a integração por partes para u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx :
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x
integral x^2 e^-x , dx = -x^2 e^-x + integral 2x e^-x , dx
Aplicando:

Passo 6

Agora, resolvemos u = x Rightarrow du = dx por partes novamente:
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x
integral x e^-x , dx = -x e^-x + integral e^-x , dx = -x e^-x - e^-x
Aplicando:

Passo 7

Voltando aos passos anteriores, substituímos:
integral x^2 e^-x , dx = -x^2 e^-x + 2(-x e^-x - e^-x) = -x^2 e^-x - 2x e^-x - 2e^-x

Passo 8

Agora, substituímos tudo de volta na expressão original:
integral x^3 e^-x , dx = -x^3 e^-x + 3(-x^2 e^-x - 2x e^-x - 2e^-x) = -x^3 e^-x - 3x^2 e^-x - 6x e^-x - 6e^-x

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ -x^3 e^-x - 3x^2 e^-x - 6x e^-x - 6e^-x ]0^1
Calculando para -1^3 e^-1 - 3(1)^2 e^-1 - 6(1) e^-1 - 6e^-1 = -1 e^-1 - 3 e^-1 - 6 e^-1 - 6 e^-1 = -16 e^-1 :
-0 - 0 - 0 - 6e^0 = -6
E para :

Passo 10

Subtraindo os dois valores:
-16 e^-1 - (-6) = -16 e^-1 + 6
Sabendo que -16 times 0,3679 + 6 approx -5,8864 + 6 = 0,1136 :

Resposta

A integral é aproximadamente igual a 0,1136.

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