Beleza, vamos resolver essa integral passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de no intervalo de 0 a .
Conteúdo da matéria: Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais de funções exponenciais com números complexos.
O que vamos precisar: Vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e entender um pouco sobre números complexos, especialmente a relação entre exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como integrar uma função exponencial do tipo , onde é uma constante. A integral de em relação a é , onde é a constante de integração.
No nosso caso, temos , então a integral indefinida de é:
Passo 3
Agora, como queremos uma integral definida de 0 a , vamos aplicar os limites. Isso significa que vamos avaliar a expressão nos pontos e , e depois subtrair os resultados.
Então temos:
Passo 4
Vamos simplificar as expressões no parêntese:
Para 2t = 2 times pi6 = pi3 :
2t = 2 times 0 = 0
Para 1i2 e^ipi3 - 1i2 e^0 :
1i2 e^ipi3 - 1i2
Então, nossa expressão fica:
Sabemos que , então simplificamos ainda mais:
Passo 5
Agora, vamos lembrar da fórmula de Euler, que relaciona exponenciais complexos com funções trigonométricas:
Vamos distribuir 1i2 times 12 + 1i2 times i raiz32 - 1i2 :
1i4 + raiz34 - 1i2
Simplificando cada termo:
(porque )
permanece como está.
Então, nossa expressão agora é:
Passo 7
Para simplificar, vamos lidar com os termos que têm 1i = 1 times ii times i = i-1 = -i no denominador. Sabemos que -i4 + raiz34 + i2 , porque multiplicando numerador e denominador por :
Usando isso:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, vamos somar os termos semelhantes. Temos termos com -i4 + i2 = -i + 2i4 = i4 e termos reais: