Beleza, vamos resolver essa integral passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de no intervalo de 0 a .
Conteúdo da matéria: Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais de funções exponenciais com números complexos.
O que vamos precisar: Vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e entender um pouco sobre números complexos, especialmente a relação entre exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como integrar uma função exponencial do tipo , onde é uma constante. A integral de em relação a é , onde é a constante de integração.
No nosso caso, temos , então a integral indefinida de é:
Passo 3
Agora, como queremos uma integral definida de 0 a , vamos aplicar os limites. Isso significa que vamos avaliar a expressão nos pontos e , e depois subtrair os resultados.
Então temos:
Passo 4
Vamos simplificar as expressões no parêntese:
Para :
Para :
Então, nossa expressão fica:
Sabemos que , então simplificamos ainda mais:
Passo 5
Agora, vamos lembrar da fórmula de Euler, que relaciona exponenciais complexos com funções trigonométricas:
Usando isso, podemos reescrever :
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na nossa expressão:
Vamos distribuir :
Simplificando cada termo:
(porque )
permanece como está.
Então, nossa expressão agora é:
Passo 7
Para simplificar, vamos lidar com os termos que têm no denominador. Sabemos que , porque multiplicando numerador e denominador por :
Usando isso:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, vamos somar os termos semelhantes. Temos termos com e termos reais: