Calcule:
b) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de no intervalo de 0 a .
Conteúdo da matéria: Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais de funções exponenciais com números complexos.
O que vamos precisar: Vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e entender um pouco sobre números complexos, especialmente a relação entre exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar uma função exponencial do tipo , onde é uma constante. A integral de em relação a é , onde é a constante de integração.
No nosso caso, temos , então a integral indefinida de é:

Passo 3

Agora, como queremos uma integral definida de 0 a , vamos aplicar os limites. Isso significa que vamos avaliar a expressão nos pontos e , e depois subtrair os resultados.
Então temos:

Passo 4

Vamos simplificar as expressões no parêntese:
Para :
Para :
Então, nossa expressão fica:
Sabemos que , então simplificamos ainda mais:

Passo 5

Agora, vamos lembrar da fórmula de Euler, que relaciona exponenciais complexos com funções trigonométricas:
Usando isso, podemos reescrever :
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão:
Vamos distribuir :
Simplificando cada termo:
  1. (porque )
  2. permanece como está.
Então, nossa expressão agora é:

Passo 7

Para simplificar, vamos lidar com os termos que têm no denominador. Sabemos que , porque multiplicando numerador e denominador por :
Usando isso:
Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, vamos somar os termos semelhantes. Temos termos com e termos reais:
  • Termos com :
  • Termos reais:
Somando os termos com :
Então, nossa expressão final fica:
Podemos escrever isso de forma mais organizada:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule:
a) ;
Seja uma função dada por . Suponha que e sejam funções diferenciáveis. Mostre que
b) .
Calcule:
c) , onde é um complexo fixo com .
Mostre que se e são inteiros então
e