Calcule:
b) integral0^pi / 6 e^i 2 t d t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral passo a passo! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de no intervalo de 0 a .
Conteúdo da matéria: Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais de funções exponenciais com números complexos.
O que vamos precisar: Vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e entender um pouco sobre números complexos, especialmente a relação entre exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar uma função exponencial do tipo integral e^i2t dt = 1i2 e^i2t + C , onde é uma constante. A integral de em relação a é , onde é a constante de integração.
No nosso caso, temos , então a integral indefinida de é:

Passo 3

Agora, como queremos uma integral definida de 0 a 1i2 e^i2t |0^pi/6 = 1i2 e^i2(pi/6) - 1i2 e^i2(0) , vamos aplicar os limites. Isso significa que vamos avaliar a expressão nos pontos e , e depois subtrair os resultados.
Então temos:

Passo 4

Vamos simplificar as expressões no parêntese:
Para 2t = 2 times pi6 = pi3 :
2t = 2 times 0 = 0
Para 1i2 e^ipi3 - 1i2 e^0 :
1i2 e^ipi3 - 1i2
Então, nossa expressão fica:
Sabemos que , então simplificamos ainda mais:

Passo 5

Agora, vamos lembrar da fórmula de Euler, que relaciona exponenciais complexos com funções trigonométricas:
e^itheta = cos theta + i sin theta
Usando isso, podemos reescrever e^ipi3 = cos(pi3) + i sin(pi3) :
cos(pi3) = 12 e sin(pi3) = raiz32
Sabemos que:
e^ipi3 = 12 + i raiz32
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão:
1i2 ( 12 + i raiz32 ) - 1i2
Vamos distribuir 1i2 times 12 + 1i2 times i raiz32 - 1i2 :
1i4 + raiz34 - 1i2
Simplificando cada termo:
  1. (porque )
  2. permanece como está.
Então, nossa expressão agora é:

Passo 7

Para simplificar, vamos lidar com os termos que têm 1i = 1 times ii times i = i-1 = -i no denominador. Sabemos que -i4 + raiz34 + i2 , porque multiplicando numerador e denominador por :
Usando isso:
Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, vamos somar os termos semelhantes. Temos termos com -i4 + i2 = -i + 2i4 = i4 e termos reais:
  • Termos com i4 + raiz34 : raiz3 + i4
  • Termos reais:
Somando os termos com :
Então, nossa expressão final fica:
Podemos escrever isso de forma mais organizada:

Resposta

A integral é igual a .

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