Mostre que se e são inteiros então
e

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para mostrar que a integral de de 0 a é igual a 0 quando é diferente de e igual a quando é igual a . Isso envolve conceitos de números complexos e integrais, especialmente envolvendo exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Isso porque, quando multiplicamos duas exponenciais com a mesma base, somamos os expoentes.

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
Vamos chamar . Assim, a integral se torna:

Passo 4

Sabemos que a integral de de 0 a depende do valor de :
  • Se , ou seja, , a integral é:
  • Se , a integral de uma função exponencial complexa em um período completo é zero. Isso acontece porque a função oscila de forma que as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso:
  • Quando ( ):
  • Quando ( ):

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Calcule:
c) , onde é um complexo fixo com .
Calcule:
b) ;
O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
a) Calcule a integral
utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para funções a valores complexos.
O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
b) Pela definição de integrais de funções de variável real a valores complexos, sabemos que
Utilize o resultado da parte ( ) para concluir quais são os valores das integrais que aparecem à direita na equação acima.