Mostre que se m e n são inteiros então
integral0^2 pi e^i m theta e^-i n theta d theta=0 quando m neq n
e
integral0^2 pi e^i m theta e^-i n theta d theta=2 pi quando m=n

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para mostrar que a integral de de 0 a é igual a 0 quando é diferente de e igual a quando é igual a . Isso envolve conceitos de números complexos e integrais, especialmente envolvendo exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
e^i m theta e^-i n theta = e^i (m - n) theta
Isso porque, quando multiplicamos duas exponenciais com a mesma base, somamos os expoentes.

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral0^2 pi e^i (m - n) theta d theta
Vamos chamar integral0^2 pi e^i k theta d theta . Assim, a integral se torna:

Passo 4

Sabemos que a integral de integral0^2 pi e^0 d theta = integral0^2 pi 1 d theta = 2pi de 0 a depende do valor de :
  • Se , ou seja, , a integral é:
  • Se , a integral de uma função exponencial complexa em um período completo é zero. Isso acontece porque a função oscila de forma que as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso:
  • Quando integral0^2 pi e^i (m - n) theta d theta = 2pi ( integral0^2 pi e^i (m - n) theta d theta = 0 ):
  • Quando ( ):

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral0^2 pi e^i m theta e^-i n theta d theta = 0 & quando m neq n 2 pi & quando m = n

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