Mostre que se
e
são inteiros então
e
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para mostrar que a integral de
de 0 a
é igual a 0 quando
é diferente de
e igual a
quando
é igual a
. Isso envolve conceitos de números complexos e integrais, especialmente envolvendo exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Isso porque, quando multiplicamos duas exponenciais com a mesma base, somamos os expoentes.
Passo 3
Agora, nossa integral fica:
Vamos chamar
. Assim, a integral se torna:
Passo 4
Sabemos que a integral de
de 0 a
depende do valor de
:
- Se
, ou seja, , a integral é:
- Se
, a integral de uma função exponencial complexa em um período completo é zero. Isso acontece porque a função oscila de forma que as áreas positivas e negativas se cancelam.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso:
- Quando
( ):
- Quando
( ):
Resposta
Portanto, mostramos que: