Calcule:
c) integral0^infty e^-z t d t, onde z é um complexo fixo com Re(z)>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^infty e^-z t , dt. Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais envolvendo números complexos, especificamente quando a variável de integração é real e o parâmetro z é complexo com parte real positiva. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar uma função exponencial da forma e^-a t, onde a é um número complexo, a integral indefinida é integral e^-a t , dt = -1a e^-a t + C. Aqui, a corresponde ao nosso z.

Passo 3

Agora, aplicamos os limites da integral definida de 0 a infty. Então, temos:
integral0^infty e^-z t , dt = [ -1z e^-z t ]0^infty
Isso significa que vamos calcular o valor da expressão -1z e^-z t nos limites superiores e inferiores e depois subtrair.

Passo 4

Vamos avaliar no limite superior, quando t tende ao infinito. Como Re(z) > 0, o termo e^-z t tende a zero porque o expoente negativo faz a função decair para zero. Então:
limt to infty -1z e^-z t = 0

Passo 5

Agora, avaliamos no limite inferior, t = 0:
-1z e^-z cdot 0 = -1z cdot 1 = -1z

Passo 6

Subtraindo os valores obtidos:
0 - ( -1z ) = 1z

Resposta

A integral vale 1z.

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