Calcule:
c) , onde é um complexo fixo com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais envolvendo números complexos, especificamente quando a variável de integração é real e o parâmetro é complexo com parte real positiva. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar uma função exponencial da forma , onde é um número complexo, a integral indefinida é . Aqui, corresponde ao nosso .

Passo 3

Agora, aplicamos os limites da integral definida de 0 a . Então, temos:
Isso significa que vamos calcular o valor da expressão nos limites superiores e inferiores e depois subtrair.

Passo 4

Vamos avaliar no limite superior, quando tende ao infinito. Como , o termo tende a zero porque o expoente negativo faz a função decair para zero. Então:

Passo 5

Agora, avaliamos no limite inferior, :

Passo 6

Subtraindo os valores obtidos:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule:
b) ;
Calcule:
a) ;
Mostre que se e são inteiros então
e
O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
a) Calcule a integral
utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para funções a valores complexos.