Calcule:
c)
, onde
é um complexo fixo com
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais envolvendo números complexos, especificamente quando a variável de integração é real e o parâmetro
é complexo com parte real positiva. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para integrar uma função exponencial da forma
, onde
é um número complexo, a integral indefinida é
. Aqui,
corresponde ao nosso
.
Passo 3
Agora, aplicamos os limites da integral definida de 0 a
. Então, temos:
Isso significa que vamos calcular o valor da expressão
nos limites superiores e inferiores e depois subtrair.
Passo 4
Vamos avaliar no limite superior, quando
tende ao infinito. Como
, o termo
tende a zero porque o expoente negativo faz a função decair para zero. Então:
Passo 5
Agora, avaliamos no limite inferior,
:
Passo 6
Subtraindo os valores obtidos:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule:
b) ;
b)
Calcule:
a) ;
a)
Mostre que se
e
são inteiros então
e
O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
a) Calcule a integral
a) Calcule a integral
utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para funções a valores complexos.