Seja w: R -> C uma função dada por w(t) = u(t) + i v(t). Suponha que u e v sejam funções diferenciáveis. Mostre que
b) d/dt [w(t)]^2 = 2 w(t) w'(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função , onde e são funções diferenciáveis de . O objetivo é mostrar que a derivada de em relação a é igual a . Para resolver isso, vamos usar regras de cálculo, especificamente a regra do produto, e entender como derivar funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa multiplicado por ele mesmo: . Para derivar isso em relação a , precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Isso porque derivamos o primeiro e deixamos o segundo como está, mais o primeiro e derivamos o segundo.

Passo 4

Agora, podemos simplificar essa expressão somando os termos semelhantes:
Isso porque ambos os termos são iguais, então somando dá o dobro de um deles.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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