Seja uma função dada por . Suponha que e sejam funções diferenciáveis. Mostre que
b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função , onde e são funções diferenciáveis de . O objetivo é mostrar que a derivada de em relação a é igual a . Para resolver isso, vamos usar regras de cálculo, especificamente a regra do produto, e entender como derivar funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa multiplicado por ele mesmo: . Para derivar isso em relação a , precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Isso porque derivamos o primeiro e deixamos o segundo como está, mais o primeiro e derivamos o segundo.

Passo 4

Agora, podemos simplificar essa expressão somando os termos semelhantes:
Isso porque ambos os termos são iguais, então somando dá o dobro de um deles.

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Seja uma função dada por . Suponha que e sejam funções diferenciáveis. Mostre que
a) ;
Para os exercícios 7-YY, dada uma função e um contorno , use parametrizações de , ou pedaços de , para calcular
  1. e é o arco de a consistindo do
    a) semicírculo ;
Calcule:
a) ;
Calcule:
b) ;