Seja
uma função dada por
. Suponha que
e
sejam funções diferenciáveis. Mostre que
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
, onde
e
são funções diferenciáveis de
. O objetivo é mostrar que a derivada de
em relação a
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar regras de cálculo, especificamente a regra do produto, e entender como derivar funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
significa
multiplicado por ele mesmo:
. Para derivar isso em relação a
, precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Isso porque derivamos o primeiro
e deixamos o segundo como está, mais o primeiro
e derivamos o segundo.
Passo 4
Agora, podemos simplificar essa expressão somando os termos semelhantes:
Isso porque ambos os termos são iguais, então somando dá o dobro de um deles.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Seja
uma função dada por
. Suponha que
e
sejam funções diferenciáveis. Mostre que
a) ;
a)
Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
e é o arco de a consistindo do
a) semicírculo;
Calcule:
a) ;
a)
Calcule:
b) ;
b)