Calcule:
a) integral1^2(1t-i)^2 d t;

Passo 1

Vamos resolver a integral . Neste exercício, estamos lidando com integração de funções que envolvem números complexos. Para resolver, vamos expandir o integrando, simplificar e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 . Usamos a fórmula do quadrado da diferença:
(1t - i)^2 = (1t)^2 - 2 cdot 1t cdot i + i^2
Aqui, e . Aplicando a fórmula:

Passo 3

Agora, simplificamos cada termo:
  1. 1t^2 - 2it - 1
  2. (lembrando que é a unidade imaginária, onde )
Portanto, a expressão expandida fica:

Passo 4

Agora, substituímos a expressão expandida de volta na integral:
integral1^2 ( 1t^2 - 2it - 1 ) dt = integral1^2 1t^2 dt - 2i integral1^2 1t dt - integral1^2 1 , dt

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. : A antiderivada de é , ou seja, .
  2. : A antiderivada de é .
  3. : A antiderivada de 1 é .

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 1 a 2 em cada antiderivada:

Passo 7

Agora, substituímos os resultados das integrais:
12 - 2i cdot ln(2) - 1 = (12 - 1) - 2i ln(2) = -12 - 2i ln(2)

Resposta

-12 - 2i ln(2)

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