Calcule:
(b) lim x 0 sen(cos (pi2-3 x)x).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da função . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do seno. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona o cosseno e o seno:
cos(pi2 - theta) = sin(theta)
Aplicando isso na nossa expressão:
cos(pi2 - 3x) = sin(3x)
Agora, substituímos de volta na função original:
sin(cos(pi2 - 3x)x) = sin(sin(3x)x)

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite da fração dentro do seno:
limx to 0 sin(3x)x
Sabemos que:
limx to 0 sin(kx)x = k
onde limx to 0 sin(3x)x = 3 é uma constante. No nosso caso, , então:

Passo 4

Substituindo esse resultado de volta na função seno, temos:
limx to 0 sin(sin(3x)x) = sin(limx to 0 sin(3x)x) = sin(3)
Usamos aqui a propriedade de que o limite de uma função composta é a função do limite, desde que o limite interno exista.

Resposta

A resposta final do limite é .

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