Calcule:
b) lim x 0 e^x+sen x-1ln (1+x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
limx 0 e^x + sin x - 1ln(1+x)
Aqui, estamos trabalhando com limites e usando funções exponenciais, seno e logaritmo natural. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de zero e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da função quando se aproxima de 0.
  • próximo de 0 pode ser aproximado por .
  • próximo de 0 pode ser aproximado por .
  • próximo de 0 pode ser aproximado por .
Essas aproximações vêm das séries de Taylor ou das aproximações lineares dessas funções perto de 0.

Passo 3

Substituindo essas aproximações na expressão original:
e^x + sin x - 1ln(1+x) approx (1 + x) + x - 1x = 2xx
Aqui, simplificamos os termos: cancela, e os termos com somam .

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração:
2xx = 2
O no numerador e no denominador cancela, deixando apenas 2.

Resposta

O limite é igual a 2.

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