Determine:
g) lim x pi2(1+cos x)^3 sec x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções trigonométricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando se aproxima de :
  • : Sabemos que . Então, à medida que se aproxima de , fica próximo de 0.
  • : Lembrando que . Se está se aproximando de 0, está se aproximando de .
Então, nossa expressão está ficando na forma , que é um tipo indeterminado. Para resolver isso, vamos usar uma técnica de limites envolvendo logaritmos.

Passo 3

Vamos chamar o limite que queremos de L = limx to pi2 (1 + cos x)^3 sec x :
ln L = limx to pi2 3 sec x cdot ln(1 + cos x)
Para facilitar, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Agora, precisamos calcular esse novo limite. Vamos analisar quando se aproxima de .

Passo 4

Sabemos que quando cos x = cos(pi2 - t) = sin t approx t (para ( t ) pequeno) está perto de 1 + cos x approx 1 + t , podemos fazer uma substituição ln(1 + cos x) approx ln(1 + t) approx t (usando a aproximação do logaritmo para ( t ) pequeno) , onde sec x = 1cos x approx 1t se aproxima de 0. Então:
ln L = limt to 0 3 cdot 1t cdot t = 3
Portanto:
E:
çã
Além disso:
Substituindo tudo de volta no limite:

Resposta

Finalmente, sabemos que L = e^3 , então:
Portanto, o limite é .

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