Determine:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções trigonométricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando
se aproxima de
:
-
: Sabemos que . Então, à medida que se aproxima de , fica próximo de 0. -
: Lembrando que . Se está se aproximando de 0, está se aproximando de .
Então, nossa expressão
está ficando na forma
, que é um tipo indeterminado. Para resolver isso, vamos usar uma técnica de limites envolvendo logaritmos.
Passo 3
Vamos chamar o limite que queremos de
:
Para facilitar, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Agora, precisamos calcular esse novo limite. Vamos analisar
quando
se aproxima de
.
Passo 4
Sabemos que quando
está perto de
, podemos fazer uma substituição
, onde
se aproxima de 0. Então:
Portanto:
E:
Além disso:
Substituindo tudo de volta no limite:
Resposta
Finalmente, sabemos que
, então:
Portanto, o limite é
.
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Calcule os limites
e)
e)
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b)
b)
Calcule:
b)
b)
Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
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