Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita pra analisar: . O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) e, se sim, qual é essa soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante vezes a razão elevada a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série para identificar melhor de que tipo de série geométrica estamos lidando. Observando , podemos separar a constante e a parte com a variável:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, sabemos que uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
  • é o primeiro termo
  • é a razão comum entre os termos
No nosso caso, o primeiro termo é , e a razão é .
Para que a série geométrica convirja, precisamos que o valor absoluto da razão seja menor que 1, ou seja, . Aqui, , então a série converge.

Passo 4

Com a série convergindo, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A série converge e sua soma é 4.

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b)
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