Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumn=1^infty 2^2-n;

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita pra analisar: sumn=1^infty 2^2-n. O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) e, se sim, qual é essa soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante vezes a razão elevada a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série para identificar melhor de que tipo de série geométrica estamos lidando. Observando 2^2-n, podemos separar a constante e a parte com a variável:
2^2-n = 2^2 cdot 2^-n = 4 cdot (12)^n
Então, a série fica:
sumn=1^infty 4 cdot (12)^n

Passo 3

Agora, sabemos que uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
onde:
  • a é o primeiro termo
  • r é a razão comum entre os termos
No nosso caso, o primeiro termo é a = 4 cdot (12)^1 = 2, e a razão é r = 12.
Para que a série geométrica convirja, precisamos que o valor absoluto da razão seja menor que 1, ou seja, |r| < 1. Aqui, |12| = 12 < 1, então a série converge.

Passo 4

Com a série convergindo, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 21 - 12 = 212 = 4

Resposta

A série sumn=1^infty 2^2-n converge e sua soma é 4.

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