1. r(t) = cos(t) i - 3t j ; t0 = pi
  2. r(t) = <raiz(3t + 1), t^2>; t0 = 1
  3. r(t) = cos(pi t) i - ln(t) j + raiz(t - 2) k ; t0 = 3
  4. r(t) = < 2 e^(-t), arcsen(t), ln(1-t) > ; t0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função vetorial para cada item e um valor específico de . Nosso objetivo é encontrar o vetor posição substituindo por em cada função. Para resolver isso, precisamos entender como substituir valores em funções vetoriais e calcular os componentes resultantes.

Passo 2

A primeira função vetorial é:
com .
Vamos substituir na função:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo item. A função vetorial é:
com .
Precisamos substituir na função para encontrar .

Passo 4

Substituindo :

Passo 5

No terceiro item, temos:
com .
Vamos substituir na função para achar .

Passo 6

Substituindo :
Sabemos que e , então:

Passo 7

Finalmente, o quarto item é:
com .
Vamos substituir na função para encontrar .

Passo 8

Substituindo :

Resposta

As posições vetoriais nos pontos dados são:

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