Calcule
e
, de modo que a função
seja derivável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula quando x passa de 2. Para garantir que essa função seja derivável, ou seja, que não tenha “quedas” ou “pontas” em x = 2, precisamos encontrar os valores de
e
que fazem isso acontecer. Para resolver, vamos usar os conceitos de continuidade e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e também igual ao valor da função em
.
Para
, a função é
. Então, o limite quando
tende a 2 pela esquerda é:
Para
, a função é
. O valor da função em
é:
Igualando os dois limites para garantir a continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a derivada da função também seja contínua em
. Ou seja, a derivada pela esquerda deve ser igual à derivada pela direita.
A derivada de
é:
Então, o limite da derivada quando
tende a 2 pela esquerda é:
A derivada de
é:
O limite da derivada quando
tende a 2 pela direita é:
Igualando as duas derivadas:
Passo 4
Agora que temos
, vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar
:
Resposta
Os valores que garantem que a função seja derivável em
são: