Calcule a e b, de modo que a função f(x) = { a x^3, x < 2; x^2 + b, x ≥ 2 } seja derivável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula quando x passa de 2. Para garantir que essa função seja derivável, ou seja, que não tenha “quedas” ou “pontas” em x = 2, precisamos encontrar os valores de e que fazem isso acontecer. Para resolver, vamos usar os conceitos de continuidade e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e também igual ao valor da função em .
Para , a função é . Então, o limite quando tende a 2 pela esquerda é:
Para , a função é . O valor da função em é:
Igualando os dois limites para garantir a continuidade:
çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que a derivada da função também seja contínua em . Ou seja, a derivada pela esquerda deve ser igual à derivada pela direita.
A derivada de é:
Então, o limite da derivada quando tende a 2 pela esquerda é:
A derivada de é:
O limite da derivada quando tende a 2 pela direita é:
Igualando as duas derivadas:

Passo 4

Agora que temos , vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar :

Resposta

Os valores que garantem que a função seja derivável em são:

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