Mostre que:
integral0^3|x^2-4| d x=233
(20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais de funções absolutas. Para resolver isso, precisamos entender onde a expressão dentro do valor absoluto, , muda de sinal, ou seja, onde ela é igual a zero. Isso nos ajuda a dividir a integral em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os valores de x^2 - 4 = 0 implies x^2 = 4 implies x = pm2 que fazem . Resolvendo a equação:
Então, os pontos críticos são e . No nosso intervalo de integração de 0 a 3, apenas está incluído. Isso significa que a função muda de sinal em .

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal de 1^2 - 4 = -3 , (negativo) em cada subintervalo criado por 3^2 - 4 = 5 , (positivo) :
  • Para : Escolha um valor, por exemplo, :
  • Para : Escolha um valor, por exemplo, :
Portanto, quando e quando .

Passo 4

Vamos dividir a integral original em duas partes, de acordo com os subintervalos onde a função muda de sinal:
integral0^3|x^2-4| dx = integral0^2 -(x^2 - 4) dx + integral2^3 (x^2 - 4) dx
Simplificando dentro das integrais:
= integral0^2 (-x^2 + 4) dx + integral2^3 (x^2 - 4) dx

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^2 (-x^2 + 4) dx = integral0^2 -x^2 dx + integral0^2 4 dx
Integrando termo a termo:
= -[x^33]0^2 + [4x]0^2 = -(83 - 0) + (8 - 0) = -83 + 8 = 163
Segunda integral:
integral2^3 (x^2 - 4) dx = integral2^3 x^2 dx - integral2^3 4 dx
Integrando termo a termo:
= [x^33]2^3 - [4x]2^3 = (273 - 83) - (12 - 8) = 193 - 4 = 193 - 123 = 73

Resposta

Somando as duas integrais:
163 + 73 = 233
Portanto, .

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