Mostre que:

(20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais de funções absolutas. Para resolver isso, precisamos entender onde a expressão dentro do valor absoluto, , muda de sinal, ou seja, onde ela é igual a zero. Isso nos ajuda a dividir a integral em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os valores de que fazem . Resolvendo a equação:
Então, os pontos críticos são e . No nosso intervalo de integração de 0 a 3, apenas está incluído. Isso significa que a função muda de sinal em .

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal de em cada subintervalo criado por :
  • Para : Escolha um valor, por exemplo, :
  • Para : Escolha um valor, por exemplo, :
Portanto, quando e quando .

Passo 4

Vamos dividir a integral original em duas partes, de acordo com os subintervalos onde a função muda de sinal:
Simplificando dentro das integrais:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Integrando termo a termo:
Segunda integral:
Integrando termo a termo:

Resposta

Somando as duas integrais:
Portanto, .

Exercícios relacionados

Calcule de 4 maneiras distintas:
Utilizando integração por partes;
(20 pontos)
Utilize a Transformada de Laplace para determinar a única função tal que , com . [Lembre-se que .]
(10 pontos)
Determine, se possível, o menor valor tal que
para todas as funções tais que , para todo .
(10 pontos)
Calcule e , de modo que a função seja derivável.