Calcule f^prime(1), dada por:
lim x 1 f(x)-f(1)x-1 em que f(x)= x+1 & se x >= 1 2 x & se x<1

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular lim x 1 f(x)-f(1)x-1 usando o limite:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de f(x) = x + 1 & se x >= 1 2x & se x < 1 . Olhando para a função:
f(1) = 1 + 1 = 2
Como está na condição , temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando f(x) = x + 1 se aproxima de 1 pela direita ( f(x) - f(1)x - 1 = (x + 1) - 2x - 1 = x - 1x - 1 = 1 ) e pela esquerda ( ).
Pela direita ( ):
Então:
Portanto, o limite pela direita é 1.

Passo 4

Pela esquerda ( f(x) = 2x ):
f(x) - f(1)x - 1 = 2x - 2x - 1 = 2(x - 1)x - 1 = 2
Então:
Portanto, o limite pela esquerda é 2.

Passo 5

Para que a derivada lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1 = 1 e lim x 1^- f(x)-f(1)x-1 = 2 exista, os limites pela direita e pela esquerda devem ser iguais. Porém, vimos que:
Como os dois limites são diferentes, a derivada em não existe.

Resposta

A derivada não existe porque os limites laterais são diferentes.

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