Determine, se possível, o menor valor alpha in R tal que
0 <= integral0^+infty f(x) e^-2 x d x <= alpha,
para todas as funções f tais que 0 <= f(x) <= 5, para todo x >= 0.
(10 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o menor valor real 0 <= integral0^+infty f(x) e^-2 x d x <= alpha, que satisfaz a desigualdade
para todas as funções que estão entre 0 e 5, ou seja, para todo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente a integração de funções exponenciais e entender como maximizar o valor da integral dado os limites de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral representa. Basicamente, estamos somando os valores de ponderados pela função exponencial ao longo de todo o eixo positivo. Como decresce rapidamente à medida que aumenta, a maior parte da contribuição para a integral vem dos valores de próximos de .

Passo 3

Para encontrar o menor que serve como limite superior para a integral, precisamos maximizar dentro das restrições dadas, ou seja, com . A melhor maneira de maximizar essa integral é escolher tão grande quanto possível em cada ponto , respeitando . Portanto, para maximizar a integral, devemos definir para todo .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral quando integral0^+infty 5 e^-2 x d x = 5 integral0^+infty e^-2 x d x :
5 times 12 = 52
A integral é uma integral padrão que resulta em . Então:

Resposta

.

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