Determine, se possível, o menor valor
tal que
para todas as funções
tais que
, para todo
.
(10 pontos)
(10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o menor valor real
que satisfaz a desigualdade
para todas as funções
que estão entre 0 e 5, ou seja,
para todo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente a integração de funções exponenciais e entender como maximizar o valor da integral dado os limites de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral
representa. Basicamente, estamos somando os valores de
ponderados pela função exponencial
ao longo de todo o eixo positivo. Como
decresce rapidamente à medida que
aumenta, a maior parte da contribuição para a integral vem dos valores de
próximos de
.
Passo 3
Para encontrar o menor
que serve como limite superior para a integral, precisamos maximizar
dentro das restrições dadas, ou seja, com
. A melhor maneira de maximizar essa integral é escolher
tão grande quanto possível em cada ponto
, respeitando
. Portanto, para maximizar a integral, devemos definir
para todo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral quando
:
A integral
é uma integral padrão que resulta em
. Então: