para todas as funções tais que , para todo .
(10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o menor valor real que satisfaz a desigualdade
para todas as funções que estão entre 0 e 5, ou seja, para todo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente a integração de funções exponenciais e entender como maximizar o valor da integral dado os limites de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral representa. Basicamente, estamos somando os valores de ponderados pela função exponencial ao longo de todo o eixo positivo. Como decresce rapidamente à medida que aumenta, a maior parte da contribuição para a integral vem dos valores de próximos de .
Passo 3
Para encontrar o menor que serve como limite superior para a integral, precisamos maximizar dentro das restrições dadas, ou seja, com . A melhor maneira de maximizar essa integral é escolher tão grande quanto possível em cada ponto , respeitando . Portanto, para maximizar a integral, devemos definir para todo .
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral quando :
A integral é uma integral padrão que resulta em . Então: