Para:
f(x) = { x^2 - 3x + a se x < 5, 2 se x = 5, (x^2 - 6x + 5)/(x - 5) + b se x > 5 }
Determine a e b de forma que f seja contínua em x = 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar os valores de e na função:
Queremos que a função seja contínua em . Para isso, vamos utilizar o conceito de continuidade, que basicamente diz que para a função ser contínua em um ponto, o limite à esquerda e à direita desse ponto devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 5 pela esquerda ( ). Quando , a função é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 5 pela direita ( ). Quando , a função é .
Primeiro, simplificamos a fração:
Fatorando o numerador:
Então:
Portanto, quando :
Agora, calculamos o limite:

Passo 4

Para que a função seja contínua em , o limite pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ambos devem ser iguais ao valor da função em , que é 2. Então temos:

Passo 5

Resolvendo as equações:
Para :
Para :

Resposta

Os valores que garantem a continuidade da função em são e .

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