Calcule uma base de autovetores para a matriz
dada por
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear onde precisamos calcular uma base de autovetores para uma matriz
. A matriz
é definida pela expressão:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a matriz inversa, multiplicar matrizes e encontrar autovetores de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz inversa da matriz
. A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2
é:
Calculando o determinante de
:
Então,
Passo 3
Agora, vamos multiplicar as matrizes conforme a expressão de
:
Onde
. Primeiro, multiplicamos
por
:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos
pelo resultado obtido:
Calculando essa multiplicação:
Passo 5
Agora que temos a matriz
, vamos encontrar seus autovetores. Para isso, precisamos resolver a equação
, onde
é um autovalor e
é o autovetor correspondente.
Passo 6
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o determinante
:
Resolvendo
, encontramos:
Passo 7
Agora, para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso nos dá a equação
, então
.
pode ser qualquer valor, então podemos escolher
. Portanto, um autovetor para
é
.
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso nos dá a equação
, que simplifica para
. Podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor para
é
.
Resposta
Uma base de autovetores para a matriz
é formada pelos vetores: