Calcule uma base de autovetores para a matriz dada por

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear onde precisamos calcular uma base de autovetores para uma matriz . A matriz é definida pela expressão:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a matriz inversa, multiplicar matrizes e encontrar autovetores de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz inversa da matriz . A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
Calculando o determinante de :
Então,

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as matrizes conforme a expressão de :
Onde . Primeiro, multiplicamos por :

Passo 4

Em seguida, multiplicamos pelo resultado obtido:
Calculando essa multiplicação:

Passo 5

Agora que temos a matriz , vamos encontrar seus autovetores. Para isso, precisamos resolver a equação , onde é um autovalor e é o autovetor correspondente.

Passo 6

Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o determinante :
Resolvendo , encontramos:

Passo 7

Agora, para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação , então . pode ser qualquer valor, então podemos escolher . Portanto, um autovetor para é .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação , que simplifica para . Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor para é .

Resposta

Uma base de autovetores para a matriz é formada pelos vetores:

Exercícios relacionados

Considere , o espaço das matrizes com entradas reais. Defina a adição de matrizes como a adição usual:
No entanto, defina a multiplicação por um escalar como:
Verifique se é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar fornecidas.
Suponha que seja uma sequência de números reais. Assuma que , para cada . Além disso, assuma que existe tal que
Mostre que a série é divergente.
Mostre que se , então, a série
é convergente.
Uma sequência é uma função que associa a cada número natural um valor real . Por exemplo, é uma sequência onde para todo . Seus primeiros termos são:
Seja o conjunto de todas as sequências de números reais. Defina as operações de adição e multiplicação por escalar em da seguinte forma: para e qualquer número real ,
Prove que, com essas operações, é um espaço vetorial sobre .