Calcule uma base de autovetores para a matriz A dada por
A=(ll 0 & 1 1 & 2 )^-1(cc 1 & 0 0 & -1 )(ll 0 & 1 1 & 2 )

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear onde precisamos calcular uma base de autovetores para uma matriz A = 0 & 1 1 & 2 ^-1 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 2 . A matriz é definida pela expressão:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a matriz inversa, multiplicar matrizes e encontrar autovetores de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz inversa da matriz 0 & 1 1 & 2 . A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 a & b c & d é:
P^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Calculando o determinante de det(P) = (0)(2) - (1)(1) = -1 :
P^-1 = 1-1 2 & -1 -1 & 0 = -2 & 1 1 & 0
Então,

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as matrizes conforme a expressão de A = P^-1 D P :
1 & 0 0 & -1
Onde D P = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 2 = (1)(0) + (0)(1) & (1)(1) + (0)(2) (0)(0) + (-1)(1) & (0)(1) + (-1)(2) = 0 & 1 -1 & -2 . Primeiro, multiplicamos por :

Passo 4

Em seguida, multiplicamos A = P^-1 (D P) = -2 & 1 1 & 0 0 & 1 -1 & -2 pelo resultado obtido:
A = (-2)(0) + (1)(-1) & (-2)(1) + (1)(-2) (1)(0) + (0)(-1) & (1)(1) + (0)(-2) = -1 & -4 0 & 1
Calculando essa multiplicação:

Passo 5

Agora que temos a matriz -1 & -4 0 & 1 , vamos encontrar seus autovetores. Para isso, precisamos resolver a equação , onde é um autovalor e é o autovetor correspondente.

Passo 6

Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o determinante det( -1 - lambda & -4 0 & 1 - lambda ) = (-1 - lambda)(1 - lambda) - (0)(-4) = (-1 - lambda)(1 - lambda) :
lambda1 = -1 e lambda2 = 1
Resolvendo , encontramos:

Passo 7

Agora, para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para 0 & -4 0 & 2 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos 1 0 :
-2 & -4 0 & 0 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a equação -2 1 , então . pode ser qualquer valor, então podemos escolher . Portanto, um autovetor para é .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação , que simplifica para . Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor para é .

Resposta

Uma base de autovetores para a matriz v1 = 1 0 e v2 = -2 1 é formada pelos vetores:

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