Suponha que
seja uma sequência de números reais. Assuma que
, para cada
. Além disso, assuma que existe
tal que
Mostre que a série
é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma sequência de números reais positivos e uma série formada por esses números. A gente precisa mostrar que essa série diverge, ou seja, não soma para um número finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que envolve limites de raízes enésimas das sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Esse teste diz que, para uma série
, se
então:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, sabemos que
, então já temos uma pista de que a série pode divergir.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Raiz diretamente na nossa série. A hipótese nos dá que:
Segundo o teste, como o limite é maior que 1, isso significa que os termos da série não estão “decrescendo rápido o suficiente” para somar para um número finito. Na verdade, cresce rápido demais para a série convergir.
Passo 4
Para reforçar, vamos lembrar que se
, então existe um número
com
tal que para grandes valores de
,
. Isso implica que
, e a série
é uma progressão geométrica que diverge quando a razão
.
Passo 5
Como
para algum
e para todo
grande o suficiente, pela comparação com uma série geométrica divergente, podemos concluir que a série
também diverge.
Resposta
Portanto, usando o Teste da Raiz, mostramos que a série
é divergente porque
.
Exercícios relacionados
Considere sobre
as operações
definidas por
Mostre que
é um anel comutativo com unidade.
Encontre o valor de
para o qual
Considere
, o espaço das matrizes
com entradas reais. Defina a adição de matrizes
como a adição usual:
No entanto, defina a multiplicação por um escalar
como:
Verifique se
é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar fornecidas.
Calcule uma base de autovetores para a matriz
dada por