Suponha que seja uma sequência de números reais. Assuma que , para cada . Além disso, assuma que existe tal que
Mostre que a série é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma sequência de números reais positivos e uma série formada por esses números. A gente precisa mostrar que essa série diverge, ou seja, não soma para um número finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que envolve limites de raízes enésimas das sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Esse teste diz que, para uma série , se
então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, sabemos que , então já temos uma pista de que a série pode divergir.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz diretamente na nossa série. A hipótese nos dá que:
Segundo o teste, como o limite é maior que 1, isso significa que os termos da série não estão “decrescendo rápido o suficiente” para somar para um número finito. Na verdade, cresce rápido demais para a série convergir.

Passo 4

Para reforçar, vamos lembrar que se , então existe um número com tal que para grandes valores de , . Isso implica que , e a série é uma progressão geométrica que diverge quando a razão .

Passo 5

Como para algum e para todo grande o suficiente, pela comparação com uma série geométrica divergente, podemos concluir que a série também diverge.

Resposta

Portanto, usando o Teste da Raiz, mostramos que a série é divergente porque .

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