Suponha que xnn in N seja uma sequência de números reais. Assuma que xn>0, para cada n in N. Além disso, assuma que existe L>1 tal que
lim n +infty raiz[n]xn=L
Mostre que a série sumn=1^+infty xn é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma sequência de números reais positivos e uma série formada por esses números. A gente precisa mostrar que essa série diverge, ou seja, não soma para um número finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que envolve limites de raízes enésimas das sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Esse teste diz que, para uma série sumn=1^+infty xn, se
limn to infty raiz[n]xn = L
então:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, sabemos que L > 1, então já temos uma pista de que a série pode divergir.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz diretamente na nossa série. A hipótese nos dá que:
limn to +infty raiz[n]xn = L > 1
Segundo o teste, como o limite é maior que 1, isso significa que os termos da série não estão “decrescendo rápido o suficiente” para somar para um número finito. Na verdade, cresce rápido demais para a série convergir.

Passo 4

Para reforçar, vamos lembrar que se limn to infty raiz[n]xn = L > 1, então existe um número r com 1 < r < L tal que para grandes valores de n, raiz[n]xn > r. Isso implica que xn > r^n, e a série sumn=1^+infty r^n é uma progressão geométrica que diverge quando a razão r > 1.

Passo 5

Como xn > r^n para algum r > 1 e para todo n grande o suficiente, pela comparação com uma série geométrica divergente, podemos concluir que a série sumn=1^+infty xn também diverge.

Resposta

Portanto, usando o Teste da Raiz, mostramos que a série sumn=1^+infty xn é divergente porque limn to +infty raiz[n]xn = L > 1.

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