Uma sequência é uma função que associa a cada número natural n um valor real an. Por exemplo, an=1n é uma sequência onde an=1n para todo n in N. Seus primeiros termos são:
1n=1, 12, 13, 14, 15, ldots
Seja V o conjunto de todas as sequências an de números reais. Defina as operações de adição e multiplicação por escalar em V da seguinte forma: para an,bn in V e qualquer número real c,
an+bn=an+bn, can=c an
Prove que, com essas operações, V é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre sequências de números reais. Basicamente, uma sequência é tipo uma lista infinita de números organizados de uma certa maneira. Aqui, o conjunto é formado por todas essas sequências. A gente quer provar que é um espaço vetorial sobre os números reais . Para isso, vamos precisar verificar se satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, como fechamento na adição e na multiplicação por escalar, existência de elementos neutros, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação por escalar, que obedecem a certas regras chamadas de axiomas. No nosso caso, as operações são definidas de forma bem simples: a adição de duas sequências é feita termo a termo, e a multiplicação por um número real também é feita termo a termo.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento na Adição
Isso significa que se você pegar duas sequências em e somar elas termo a termo, o resultado também está em .
Seja e duas sequências em . Então, a soma delas é .
Como a soma de números reais é um número real, cada termo de é real. Portanto, também pertence a .

Passo 4

Axioma 2: Comutatividade da Adição
A ordem da soma não altera o resultado.
Para an + bn = an + bn = bn + an = bn + an e em ,
Logo, a adição é comutativa.

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da Adição
A forma como agrupamos as sequências na soma não muda o resultado.
Para (an + bn) + cn = an + bn + cn = an + bn + cn , an + (bn + cn) = an + bn + cn = an + bn + cn e em ,
Portanto, é associativa.

Passo 6

Axioma 4: Existência do Elemento Neutro (Elemento Zero)
Tem que existir uma sequência que, quando somada a qualquer outra, não muda essa sequência.
A sequência an + 0 = an + 0 = an , onde cada termo é zero, serve como elemento neutro.
Para qualquer em ,

Passo 7

Axioma 5: Existência do Inverso Aditivo
Para cada sequência, deve existir outra que, somada a ela, resulta no elemento neutro.
Para an + -an = an - an = 0 em , a sequência inversa é .

Passo 8

Axioma 6: Fechamento na Multiplicação por Escalar
Multiplicar uma sequência por um número real deve resultar em outra sequência de c cdot an = c cdot an .
Para e em ,
Como é real para todo , pertence a .

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Sequências
Multiplicar um escalar por uma soma de sequências é o mesmo que somar as multiplicações por esse escalar.
Para c cdot (an + bn) = c cdot an + bn = c(an + bn) = c an + c bn = c an + c bn = c cdot an + c cdot bn e , em ,

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
A multiplicação de uma soma de escalares por uma sequência é igual à soma das multiplicações de cada escalar pela sequência.
Para (c + d) cdot an = (c + d) an = c an + d an = c an + d an = c cdot an + d cdot an e em ,

Passo 11

Axioma 9: Compatibilidade da Multiplicação de Escalares
Multiplicar dois escalares e depois por uma sequência é o mesmo que multiplicar um escalar pela multiplicação do outro escalar pela sequência.
Para c cdot (d cdot an) = c cdot d an = c (d an) = (c d) an = (c d) cdot an e em ,

Passo 12

Axioma 10: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Multiplicar uma sequência por 1 não altera a sequência.
Para 1 cdot an = 1 cdot an = an em ,

Resposta

Como todas as propriedades necessárias estão satisfeitas, concluímos que é, de fato, um espaço vetorial sobre .

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