Uma sequência é uma função que associa a cada número natural
um valor real
. Por exemplo,
é uma sequência onde
para todo
. Seus primeiros termos são:
Seja
o conjunto de todas as sequências
de números reais. Defina as operações de adição e multiplicação por escalar em
da seguinte forma: para
e qualquer número real
,
Prove que, com essas operações,
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre sequências de números reais. Basicamente, uma sequência é tipo uma lista infinita de números organizados de uma certa maneira. Aqui, o conjunto
é formado por todas essas sequências. A gente quer provar que
é um espaço vetorial sobre os números reais
. Para isso, vamos precisar verificar se
satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, como fechamento na adição e na multiplicação por escalar, existência de elementos neutros, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação por escalar, que obedecem a certas regras chamadas de axiomas. No nosso caso, as operações são definidas de forma bem simples: a adição de duas sequências é feita termo a termo, e a multiplicação por um número real também é feita termo a termo.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento na Adição
Isso significa que se você pegar duas sequências em
e somar elas termo a termo, o resultado também está em
.
Seja
e
duas sequências em
. Então, a soma delas é
.
Como a soma de números reais é um número real, cada termo de
é real. Portanto,
também pertence a
.
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da Adição
A ordem da soma não altera o resultado.
Para
e
em
,
Logo, a adição é comutativa.
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da Adição
A forma como agrupamos as sequências na soma não muda o resultado.
Para
,
e
em
,
Portanto, é associativa.
Passo 6
Axioma 4: Existência do Elemento Neutro (Elemento Zero)
Tem que existir uma sequência que, quando somada a qualquer outra, não muda essa sequência.
A sequência
, onde cada termo é zero, serve como elemento neutro.
Para qualquer
em
,
Passo 7
Axioma 5: Existência do Inverso Aditivo
Para cada sequência, deve existir outra que, somada a ela, resulta no elemento neutro.
Para
em
, a sequência inversa é
.
Passo 8
Axioma 6: Fechamento na Multiplicação por Escalar
Multiplicar uma sequência por um número real deve resultar em outra sequência de
.
Para
e
em
,
Como
é real para todo
,
pertence a
.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Sequências
Multiplicar um escalar por uma soma de sequências é o mesmo que somar as multiplicações por esse escalar.
Para
e
,
em
,
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
A multiplicação de uma soma de escalares por uma sequência é igual à soma das multiplicações de cada escalar pela sequência.
Para
e
em
,
Passo 11
Axioma 9: Compatibilidade da Multiplicação de Escalares
Multiplicar dois escalares e depois por uma sequência é o mesmo que multiplicar um escalar pela multiplicação do outro escalar pela sequência.
Para
e
em
,
Passo 12
Axioma 10: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Multiplicar uma sequência por 1 não altera a sequência.
Para
em
,
Resposta
Como todas as propriedades necessárias estão satisfeitas, concluímos que
é, de fato, um espaço vetorial sobre
.