Uma sequência é uma função que associa a cada número natural um valor real . Por exemplo, é uma sequência onde para todo . Seus primeiros termos são:
Seja o conjunto de todas as sequências de números reais. Defina as operações de adição e multiplicação por escalar em da seguinte forma: para e qualquer número real ,
Prove que, com essas operações, é um espaço vetorial sobre .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre sequências de números reais. Basicamente, uma sequência é tipo uma lista infinita de números organizados de uma certa maneira. Aqui, o conjunto é formado por todas essas sequências. A gente quer provar que é um espaço vetorial sobre os números reais . Para isso, vamos precisar verificar se satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, como fechamento na adição e na multiplicação por escalar, existência de elementos neutros, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação por escalar, que obedecem a certas regras chamadas de axiomas. No nosso caso, as operações são definidas de forma bem simples: a adição de duas sequências é feita termo a termo, e a multiplicação por um número real também é feita termo a termo.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento na Adição
Isso significa que se você pegar duas sequências em e somar elas termo a termo, o resultado também está em .
Seja e duas sequências em . Então, a soma delas é .
Como a soma de números reais é um número real, cada termo de é real. Portanto, também pertence a .

Passo 4

Axioma 2: Comutatividade da Adição
A ordem da soma não altera o resultado.
Para e em ,
Logo, a adição é comutativa.

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da Adição
A forma como agrupamos as sequências na soma não muda o resultado.
Para , e em ,
Portanto, é associativa.

Passo 6

Axioma 4: Existência do Elemento Neutro (Elemento Zero)
Tem que existir uma sequência que, quando somada a qualquer outra, não muda essa sequência.
A sequência , onde cada termo é zero, serve como elemento neutro.
Para qualquer em ,

Passo 7

Axioma 5: Existência do Inverso Aditivo
Para cada sequência, deve existir outra que, somada a ela, resulta no elemento neutro.
Para em , a sequência inversa é .

Passo 8

Axioma 6: Fechamento na Multiplicação por Escalar
Multiplicar uma sequência por um número real deve resultar em outra sequência de .
Para e em ,
Como é real para todo , pertence a .

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Sequências
Multiplicar um escalar por uma soma de sequências é o mesmo que somar as multiplicações por esse escalar.
Para e , em ,

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
A multiplicação de uma soma de escalares por uma sequência é igual à soma das multiplicações de cada escalar pela sequência.
Para e em ,

Passo 11

Axioma 9: Compatibilidade da Multiplicação de Escalares
Multiplicar dois escalares e depois por uma sequência é o mesmo que multiplicar um escalar pela multiplicação do outro escalar pela sequência.
Para e em ,

Passo 12

Axioma 10: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Multiplicar uma sequência por 1 não altera a sequência.
Para em ,

Resposta

Como todas as propriedades necessárias estão satisfeitas, concluímos que é, de fato, um espaço vetorial sobre .

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