Mostre que se
, então, a série
é convergente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e qual o conteúdo que vamos usar. Precisamos mostrar que a série
converge, dado que
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas e os critérios de convergência dessas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a série para facilitar a análise. Podemos separar a série original em duas séries geométricas distintas:
Isso significa que nossa série original é a soma dessas duas séries separadas.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que uma série geométrica da forma
converge se e somente se a razão
satisfaz
. No nosso caso, como
e
, ambas as séries geométricas individuais satisfazem essa condição, ou seja, elas convergem.
Passo 4
Vamos calcular a soma de cada uma dessas séries geométricas. A fórmula da soma de uma série geométrica convergente é:
Aplicando essa fórmula para cada série:
Passo 5
Para encontrar a soma total da série original, basta somar as duas somas que calculamos:
Como ambas as séries são convergentes, a soma delas também é convergente.
Resposta
A série
é convergente, e sua soma é igual a
.