Mostre que se 0, então, a série
a+b+a^2+b^2+a^3+b^3+ldots
é convergente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e qual o conteúdo que vamos usar. Precisamos mostrar que a série converge, dado que . Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas e os critérios de convergência dessas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a série para facilitar a análise. Podemos separar a série original em duas séries geométricas distintas:
sumn=1^infty a^n e sumn=1^infty b^n
Isso significa que nossa série original é a soma dessas duas séries separadas.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma série geométrica da forma converge se e somente se a razão satisfaz . No nosso caso, como e , ambas as séries geométricas individuais satisfazem essa condição, ou seja, elas convergem.

Passo 4

Vamos calcular a soma de cada uma dessas séries geométricas. A fórmula da soma de uma série geométrica convergente é:
sumn=1^infty r^n = r1 - r
Aplicando essa fórmula para cada série:
sumn=1^infty a^n = a1 - a
sumn=1^infty b^n = b1 - b

Passo 5

Para encontrar a soma total da série original, basta somar as duas somas que calculamos:
a1 - a + b1 - b
Como ambas as séries são convergentes, a soma delas também é convergente.

Resposta

A série é convergente, e sua soma é igual a .

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