Mostre que se
, então, a série
é convergente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e qual o conteúdo que vamos usar. Precisamos mostrar que a série
converge, dado que
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas e os critérios de convergência dessas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a série para facilitar a análise. Podemos separar a série original em duas séries geométricas distintas:
Isso significa que nossa série original é a soma dessas duas séries separadas.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que uma série geométrica da forma
converge se e somente se a razão
satisfaz
. No nosso caso, como
e
, ambas as séries geométricas individuais satisfazem essa condição, ou seja, elas convergem.
Passo 4
Vamos calcular a soma de cada uma dessas séries geométricas. A fórmula da soma de uma série geométrica convergente é:
Aplicando essa fórmula para cada série:
Passo 5
Para encontrar a soma total da série original, basta somar as duas somas que calculamos:
Como ambas as séries são convergentes, a soma delas também é convergente.
Resposta
A série
é convergente, e sua soma é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule uma base de autovetores para a matriz
dada por
Considere
, o espaço das matrizes
com entradas reais. Defina a adição de matrizes
como a adição usual:
No entanto, defina a multiplicação por um escalar
como:
Verifique se
é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar fornecidas.
Uma sequência é uma função que associa a cada número natural
um valor real
. Por exemplo,
é uma sequência onde
para todo
. Seus primeiros termos são:
Seja
o conjunto de todas as sequências
de números reais. Defina as operações de adição e multiplicação por escalar em
da seguinte forma: para
e qualquer número real
,
Prove que, com essas operações,
é um espaço vetorial sobre
.
A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?