Considere , o espaço das matrizes com entradas reais. Defina a adição de matrizes como a adição usual:
No entanto, defina a multiplicação por um escalar como:
Verifique se é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar fornecidas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. A gente vai verificar se é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar que foram definidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa satisfazer certos axiomas relacionados à adição de vetores e à multiplicação por escalar. Se todos esses axiomas forem verdadeiros com as operações que a gente definiu, então é um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando o primeiro axioma: fechamento na adição. Isso significa que se você pegar duas matrizes qualquer em e somar elas usando a operação definida, o resultado também deve estar em .
Operação de adição definida:
Como a soma de duas matrizes ainda é uma matriz com entradas reais, o fechamento na adição está ok.

Passo 4

Agora, o segundo axioma: associatividade da adição. Quer dizer que a ordem como você adiciona três matrizes não importa.
Matematicamente, para :
Como a adição de matrizes é associativa no modo usual, esse axioma também é satisfeito.

Passo 5

Vamos para o terceiro axioma: elemento neutro da adição. Isso significa que existe uma matriz zero em tal que, quando você adiciona qualquer matriz a ela, o resultado é a própria matriz.
A matriz zero é:
E de fato, para qualquer , então o elemento neutro existe.

Passo 6

O quarto axioma é o da existência de inversos aditivos. Para cada matriz em , deve existir uma matriz também em tal que:
Com a adição padrão, é simplesmente a matriz com todos os elementos multiplicados por , e está em . Portanto, esse axioma também está satisfeito.

Passo 7

Agora vamos checar o quinto axioma: fechamento na multiplicação por escalar. Precisamos ver se, para qualquer escalar e qualquer matriz , o produto também está em .
Operação de multiplicação por escalar definida:
Como o resultado ainda é uma matriz com entradas reais, o fechamento na multiplicação por escalar está ok.

Passo 8

O sexto axioma é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Vamos verificar:
E,
Os dois lados são iguais, então a distributividade está satisfeita.

Passo 9

O sétimo axioma é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar:
E,
Novamente, os dois lados são iguais, então esse axioma também está cumprido.

Passo 10

O oitavo axioma é a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
Vamos verificar:
E,
Os dois lados são iguais, então esse axioma também está satisfeito.

Passo 11

Por último, precisamos verificar o axioma da identidade da multiplicação por escalar:
Vamos ver o que acontece quando multiplicamos por 1:
Mas, para ser uma verdade geral, deveríamos ter . No entanto, a operação definida zera os elementos fora da diagonal. Isso significa que se tiver elementos não nulos fora da diagonal, . Portanto, esse axioma não é satisfeito.

Resposta

Como o axioma da identidade da multiplicação por escalar não é satisfeito, o conjunto não é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas no enunciado.

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