Considere V=M2(R), o espaço das matrizes 2 times 2 com entradas reais. Defina a adição de matrizes A, B in V como a adição usual:
A+B=(ll a11 & a12 a21 & a22 )+(ll b11 & b12 b21 & b22 )=(ll a11+b11 & a12+b12 a21+b21 & a22+b22 )
No entanto, defina a multiplicação por um escalar c in R como:
c A=(cc c a11 & 0 0 & c a22 )
Verifique se V é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar fornecidas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. A gente vai verificar se é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar que foram definidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa satisfazer certos axiomas relacionados à adição de vetores e à multiplicação por escalar. Se todos esses axiomas forem verdadeiros com as operações que a gente definiu, então é um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando o primeiro axioma: fechamento na adição. Isso significa que se você pegar duas matrizes qualquer em A + B = a11 + b11 & a12 + b12 a21 + b21 & a22 + b22 e somar elas usando a operação definida, o resultado também deve estar em .
Operação de adição definida:
Como a soma de duas matrizes ainda é uma matriz com entradas reais, o fechamento na adição está ok.

Passo 4

Agora, o segundo axioma: associatividade da adição. Quer dizer que a ordem como você adiciona três matrizes não importa.
Matematicamente, para (A + B) + C = A + (B + C) :
Como a adição de matrizes é associativa no modo usual, esse axioma também é satisfeito.

Passo 5

Vamos para o terceiro axioma: elemento neutro da adição. Isso significa que existe uma matriz zero em 0 = 0 & 0 0 & 0 tal que, quando você adiciona qualquer matriz a ela, o resultado é a própria matriz.
A matriz zero é:
E de fato, para qualquer , então o elemento neutro existe.

Passo 6

O quarto axioma é o da existência de inversos aditivos. Para cada matriz A + (-A) = 0 em , deve existir uma matriz também em tal que:
Com a adição padrão, é simplesmente a matriz com todos os elementos multiplicados por , e está em . Portanto, esse axioma também está satisfeito.

Passo 7

Agora vamos checar o quinto axioma: fechamento na multiplicação por escalar. Precisamos ver se, para qualquer escalar c A = c a11 & 0 0 & c a22 e qualquer matriz , o produto também está em .
Operação de multiplicação por escalar definida:
Como o resultado ainda é uma matriz com entradas reais, o fechamento na multiplicação por escalar está ok.

Passo 8

O sexto axioma é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
c(A + B) = cA + cB
Vamos verificar:
c(A + B) = c a11 + b11 & a12 + b12 a21 + b21 & a22 + b22 = c(a11 + b11) & 0 0 & c(a22 + b22)
E,
cA + cB = c a11 & 0 0 & c a22 + c b11 & 0 0 & c b22 = c a11 + c b11 & 0 0 & c a22 + c b22
Os dois lados são iguais, então a distributividade está satisfeita.

Passo 9

O sétimo axioma é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
(c + d)A = cA + dA
Vamos verificar:
(c + d)A = (c + d)a11 & 0 0 & (c + d)a22
E,
cA + dA = c a11 & 0 0 & c a22 + d a11 & 0 0 & d a22 = (c + d)a11 & 0 0 & (c + d)a22
Novamente, os dois lados são iguais, então esse axioma também está cumprido.

Passo 10

O oitavo axioma é a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
c(dA) = (cd)A
Vamos verificar:
c(dA) = c d a11 & 0 0 & d a22 = c d a11 & 0 0 & c d a22
E,
(cd)A = (c d) a11 & 0 0 & (c d) a22
Os dois lados são iguais, então esse axioma também está satisfeito.

Passo 11

Por último, precisamos verificar o axioma da identidade da multiplicação por escalar:
1 cdot A = A
Vamos ver o que acontece quando multiplicamos por 1:
1 cdot A = 1 cdot a11 & 0 0 & 1 cdot a22 = a11 & 0 0 & a22
Mas, para ser uma verdade geral, deveríamos ter . No entanto, a operação definida zera os elementos fora da diagonal. Isso significa que se tiver elementos não nulos fora da diagonal, . Portanto, esse axioma não é satisfeito.

Resposta

Como o axioma da identidade da multiplicação por escalar não é satisfeito, o conjunto não é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas no enunciado.

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