Considere
, o espaço das matrizes
com entradas reais. Defina a adição de matrizes
como a adição usual:
No entanto, defina a multiplicação por um escalar
como:
Verifique se
é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar fornecidas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. A gente vai verificar se
é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar que foram definidas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa satisfazer certos axiomas relacionados à adição de vetores e à multiplicação por escalar. Se todos esses axiomas forem verdadeiros com as operações que a gente definiu, então
é um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos começar verificando o primeiro axioma: fechamento na adição. Isso significa que se você pegar duas matrizes qualquer em
e somar elas usando a operação definida, o resultado também deve estar em
.
Operação de adição definida:
Como a soma de duas matrizes
ainda é uma matriz
com entradas reais, o fechamento na adição está ok.
Passo 4
Agora, o segundo axioma: associatividade da adição. Quer dizer que a ordem como você adiciona três matrizes não importa.
Matematicamente, para
:
Como a adição de matrizes é associativa no modo usual, esse axioma também é satisfeito.
Passo 5
Vamos para o terceiro axioma: elemento neutro da adição. Isso significa que existe uma matriz zero em
tal que, quando você adiciona qualquer matriz a ela, o resultado é a própria matriz.
A matriz zero é:
E de fato,
para qualquer
, então o elemento neutro existe.
Passo 6
O quarto axioma é o da existência de inversos aditivos. Para cada matriz
em
, deve existir uma matriz
também em
tal que:
Com a adição padrão,
é simplesmente a matriz com todos os elementos multiplicados por
, e está em
. Portanto, esse axioma também está satisfeito.
Passo 7
Agora vamos checar o quinto axioma: fechamento na multiplicação por escalar. Precisamos ver se, para qualquer escalar
e qualquer matriz
, o produto
também está em
.
Operação de multiplicação por escalar definida:
Como o resultado ainda é uma matriz
com entradas reais, o fechamento na multiplicação por escalar está ok.
Passo 8
O sexto axioma é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Vamos verificar:
E,
Os dois lados são iguais, então a distributividade está satisfeita.
Passo 9
O sétimo axioma é a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar:
E,
Novamente, os dois lados são iguais, então esse axioma também está cumprido.
Passo 10
O oitavo axioma é a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
Vamos verificar:
E,
Os dois lados são iguais, então esse axioma também está satisfeito.
Passo 11
Por último, precisamos verificar o axioma da identidade da multiplicação por escalar:
Vamos ver o que acontece quando multiplicamos por 1:
Mas, para ser uma verdade geral, deveríamos ter
. No entanto, a operação definida zera os elementos fora da diagonal. Isso significa que se
tiver elementos não nulos fora da diagonal,
. Portanto, esse axioma não é satisfeito.
Resposta
Como o axioma da identidade da multiplicação por escalar não é satisfeito, o conjunto
não é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas no enunciado.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma sequência de números reais. Assuma que
, para cada
. Além disso, assuma que existe
tal que
Mostre que a série
é divergente.
Considere sobre
as operações
definidas por
Mostre que
é um anel comutativo com unidade.
Calcule uma base de autovetores para a matriz
dada por
Mostre que se
, então, a série
é convergente.