Calcule uma base de autovetores para a matriz .

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz e precisa encontrar uma base de autovetores para ela. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de e, em seguida, os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, a gente resolve a equação característica, que é dada por . Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor , resolvemos o sistema , onde é o autovetor.

Passo 6

Vamos começar com :
Resolvendo :
Podemos expressar . Então, um autovetor correspondente é .

Passo 7

Agora, para :
Resolvendo :
Podemos expressar . Assim, um autovetor correspondente é .

Resposta

Uma base de autovetores para a matriz é formada por:

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Sejam:


Calcule a dimensão dos subespaços:
[Dica:
Determine se o conjunto é L.D. ou L.I.
Dadas as matrizes e ,
Calcule: e
Determine se o conjunto é L.D. ou L.I.