Então, a gente tem uma matriz e precisa encontrar uma base de autovetores para ela. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de e, em seguida, os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, a gente resolve a equação característica, que é dada por . Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são e .
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor , resolvemos o sistema , onde é o autovetor.
Passo 6
Vamos começar com :
Resolvendo :
Podemos expressar . Então, um autovetor correspondente é .
Passo 7
Agora, para :
Resolvendo :
Podemos expressar . Assim, um autovetor correspondente é .
Resposta
Uma base de autovetores para a matriz é formada por: