Calcule uma base de autovetores para a matriz A=(ll0 & 1 1 & 2).

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz 0 & 1 1 & 2 e precisa encontrar uma base de autovetores para ela. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de e, em seguida, os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, a gente resolve a equação característica, que é dada por . Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 0 - lambda & 1 1 & 2 - lambda = -lambda & 1 1 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (-lambda)(2 - lambda) - (1)(1) = -2lambda + lambda^2 - 1
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
lambda^2 - 2lambda - 1 = 0
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática lambda = 2 pm raiz(2)^2 - 4(1)(-1)2(1) = 2 pm raiz4 + 42 = 2 pm raiz82 = 2 pm 2raiz22 = 1 pm raiz2 usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor , resolvemos o sistema , onde é o autovetor.

Passo 6

Vamos começar com A - lambda1 I = -lambda1 & 1 1 & 2 - lambda1 = -(1 + raiz2) & 1 1 & 2 - (1 + raiz2) = -1 - raiz2 & 1 1 & 1 - raiz2 :
(-1 - raiz2)v1 + v2 = 0 v1 + (1 - raiz2)v2 = 0
Resolvendo 1 1 + raiz2 :
Podemos expressar . Então, um autovetor correspondente é .

Passo 7

Agora, para A - lambda2 I = -lambda2 & 1 1 & 2 - lambda2 = -(1 - raiz2) & 1 1 & 2 - (1 - raiz2) = -1 + raiz2 & 1 1 & 1 + raiz2 :
(-1 + raiz2)v1 + v2 = 0 v1 + (1 + raiz2)v2 = 0
Resolvendo 1 1 - raiz2 :
Podemos expressar . Assim, um autovetor correspondente é .

Resposta

Uma base de autovetores para a matriz v^(1) = 1 1 + raiz2 e v^(2) = 1 1 - raiz2 é formada por:

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