Calcule uma base de autovetores para a matriz
.
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz
e precisa encontrar uma base de autovetores para ela. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de
e, em seguida, os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Para isso, a gente resolve a equação característica, que é dada por
. Aqui,
representa os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor
, resolvemos o sistema
, onde
é o autovetor.
Passo 6
Vamos começar com
:
Resolvendo
:
Podemos expressar
. Então, um autovetor correspondente é
.
Passo 7
Agora, para
:
Resolvendo
:
Podemos expressar
. Assim, um autovetor correspondente é
.
Resposta
Uma base de autovetores para a matriz
é formada por: