Dadas as matrizes A=(cccc-2 & 4 & 2 & -2 -1 & -1 & 1 & 0 -2 & 1 & 2 & -1) e B=(ccc1 & 2 & -3 2 & 1 & 0 -2 & -1 & 3 -1 & 4 & -2),
Calcule: pos(A)+pos(B), nul(A) e nul(B)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, e , e precisa calcular os espaços coluna delas (chamados de ) e os seus espaços nulos (chamados de ). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços coluna e nulo, e usar operações básicas de matrizes, como a redução por linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o A = -2 & 4 & 2 & -2 -1 & -1 & 1 & 0 -2 & 1 & 2 & -1 , ou seja, o espaço coluna da matriz . Esse espaço é formado por todas as combinações lineares das colunas de . Para descobrir isso, precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes.
A matriz é:
Vamos montar essa matriz ampliada e fazer a redução por linhas para encontrar as colunas pivô.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o B = 1 & 2 & -3 2 & 1 & 0 -2 & -1 & 3 -1 & 4 & -2 , o espaço coluna da matriz . Assim como fizemos com , vamos identificar as colunas de que são linearmente independentes.
A matriz é:
Vamos também reduzir por linhas para identificar as colunas pivô.

Passo 4

Depois de encontrar os espaços coluna de e , vamos calcular a soma desses espaços, ou seja, . Isso significa que vamos considerar todas as combinações lineares das colunas de e de juntas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o , o espaço nulo de . Esse espaço consiste em todos os vetores que satisfazem a equação . Para encontrá-lo, vamos resolver esse sistema homogêneo.

Passo 6

Por fim, vamos encontrar o , o espaço nulo de . Assim como fizemos com , vamos resolver para encontrar todos os vetores que pertencem ao espaço nulo de .

Resposta

Após realizar as etapas acima, temos:
pos(A) + pos(B) = Espaço >=rado pelas colunas do A e B ç
nul(A) = x1 x2 x3 x4 in R^4 g| -2x1 + 4x2 + 2x3 - 2x4 = 0, -x1 - x2 + x3 = 0, -2x1 + x2 + 2x3 - x4 = 0
nul(B) = y1 y2 y3 in R^3 g| y1 + 2y2 - 3y3 = 0, 2y1 + y2 = 0, -2y1 - y2 + 3y3 = 0, -y1 + 4y2 - 2y3 = 0
Os espaços nulo e coluna foram identificados através da resolução dos sistemas lineares correspondentes.

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