Determine se o conjunto
é L.D. ou L.I.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se o conjunto
é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.). O conjunto
é formado por três matrizes:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente dependente ou independente e como testar isso usando uma equação de combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa um conjunto ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor (ou matriz) zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dá a matriz zero, então o conjunto é linearmente dependente.
Em termos matemáticos, para as matrizes
do conjunto
, queremos saber se existe algum escalar
, não todos zero, tal que:
Se essa equação tiver uma solução onde pelo menos um dos
é diferente de zero, então
é L.D. Caso contrário, é L.I.
Passo 3
Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
Isso nos dá um sistema de equações para os coeficientes
. Vamos escrever cada posição da matriz resultante igual a zero:
-
(posição (1,1)) -
(posição (1,2)) -
(posição (2,1)) -
(posição (2,2))
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Temos:
Podemos resolver passo a passo:
- Da equação 2:
- Da equação 1:
- Substituindo
e na equação 3:
, que é verdadeiro. - Verificando na equação 4:
, também verdadeiro.
Isso significa que existe uma solução não trivial (por exemplo,
, então
,
) que satisfaz todas as equações.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente (L.D.).