Determine se o conjunto é L.D. ou L.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se o conjunto é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.). O conjunto é formado por três matrizes:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente dependente ou independente e como testar isso usando uma equação de combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa um conjunto ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor (ou matriz) zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dá a matriz zero, então o conjunto é linearmente dependente.
Em termos matemáticos, para as matrizes do conjunto , queremos saber se existe algum escalar , não todos zero, tal que:
Se essa equação tiver uma solução onde pelo menos um dos é diferente de zero, então é L.D. Caso contrário, é L.I.

Passo 3

Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
Isso nos dá um sistema de equações para os coeficientes . Vamos escrever cada posição da matriz resultante igual a zero:
  1. (posição (1,1))
  2. (posição (1,2))
  3. (posição (2,1))
  4. (posição (2,2))

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Temos:
Podemos resolver passo a passo:
  • Da equação 2:
  • Da equação 1:
  • Substituindo e na equação 3:
    , que é verdadeiro.
  • Verificando na equação 4:
    , também verdadeiro.
Isso significa que existe uma solução não trivial (por exemplo, , então , ) que satisfaz todas as equações.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente (L.D.).

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Calcule o polinômio característico de
Considere subespaço vetorial de , onde
O vetor ?
Sejam:


Calcule a dimensão dos subespaços:
[Dica:
Calcule uma base de autovetores para a matriz .