Sejam:
Calcule a dimensão dos subespaços:
[Dica:
Calcule a dimensão dos subespaços:
[Dica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois subespaços
e
no espaço
, definidos por certas equações lineares. Nosso objetivo é descobrir as dimensões dos seguintes subespaços:
-
: a interseção de e -
: a soma de e -
: o quociente da interseção pela soma
Para isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, interseção, soma de subespaços e cálculos de dimensões. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a dimensão da interseção
. Isso significa encontrar todos os vetores que satisfazem as duas equações que definem
e
simultaneamente. As equações são:
Para resolver esse sistema, podemos utilizar métodos de eliminação ou substituição. Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Agora, temos
e
. Podemos expressar os vetores da interseção em termos de
e
:
Isso mostra que
é gerado pelos vetores
e
, que são linearmente independentes.
Portanto, a dimensão de
é 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular a dimensão de
, que é a soma dos subespaços
e
. Para isso, usamos a seguinte fórmula da dimensão para a soma de dois subespaços:
Primeiro, precisamos encontrar as dimensões de
e
individualmente.
Dimensão de
:
A equação que define
é
. Esse é um único restrição em
, então a dimensão de
é
.
Dimensão de
:
A equação que define
é
. Também é uma única restrição em
, então a dimensão de
é
.
Agora, aplicando a fórmula:
Portanto, a dimensão de
é 4.
Passo 4
Por último, vamos calcular a dimensão do quociente
. No entanto, há um pequeno ajuste necessário aqui. A fórmula correta para o quociente de duas subespaços envolve que
seja um subespaço contendo
. Porém, observamos que
tem dimensão 4, que é a dimensão total do espaço
. Isso significa que
.
Quando temos
, o quociente
na verdade não é definido da maneira tradicional, pois
não é um subespaço de
.
Entretanto, se considerarmos a dimensão de
sobre
, já que
é todo o espaço, o quociente acaba sendo trivial e sua dimensão é 0.