Sejam:
V=(x, y, z, t) in R^4 / x-y+z-t=0
U=(x, y, z, t) in R^4 / 2 x+y+2 z+t=0
Calcule a dimensão dos subespaços: U cap V, U+V, U cap VU+V
[Dica: dim(UV)=dim(V)-dim(U)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois subespaços e no espaço , definidos por certas equações lineares. Nosso objetivo é descobrir as dimensões dos seguintes subespaços:
  • : a interseção de e
  • : a soma de e
  • : o quociente da interseção pela soma
Para isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, interseção, soma de subespaços e cálculos de dimensões. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a dimensão da interseção x - y + z - t = 0 (equação de V) 2x + y + 2z + t = 0 (equação de U) . Isso significa encontrar todos os vetores que satisfazem as duas equações que definem (x - y + z - t) + (2x + y + 2z + t) = 0 + 0 3x + 3z = 0 x + z = 0 Rightarrow x = -z e (-z) - y + z - t = 0 -y - t = 0 Rightarrow y = -t simultaneamente. As equações são:
(x, y, z, t) = (-z, -t, z, t) = z(-1, 0, 1, 0) + t(0, -1, 0, 1) çãçã
Para resolver esse sistema, podemos utilizar métodos de eliminação ou substituição. Vamos somar as duas equações para eliminar :
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, temos e . Podemos expressar os vetores da interseção em termos de e :
Isso mostra que é gerado pelos vetores e , que são linearmente independentes.
Portanto, a dimensão de é 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a dimensão de dim(U + V) = dim(U) + dim(V) - dim(U cap V) , que é a soma dos subespaços dim(V) = 3 e dim(U) = 3 . Para isso, usamos a seguinte fórmula da dimensão para a soma de dois subespaços:
dim(U + V) = 3 + 3 - 2 = 4
Primeiro, precisamos encontrar as dimensões de e individualmente.
Dimensão de :
A equação que define é . Esse é um único restrição em , então a dimensão de é .
Dimensão de :
A equação que define é . Também é uma única restrição em , então a dimensão de é .
Agora, aplicando a fórmula:
Portanto, a dimensão de é 4.

Passo 4

Por último, vamos calcular a dimensão do quociente . No entanto, há um pequeno ajuste necessário aqui. A fórmula correta para o quociente de duas subespaços envolve que seja um subespaço contendo . Porém, observamos que tem dimensão 4, que é a dimensão total do espaço . Isso significa que .
Quando temos , o quociente na verdade não é definido da maneira tradicional, pois não é um subespaço de .
Entretanto, se considerarmos a dimensão de sobre , já que é todo o espaço, o quociente acaba sendo trivial e sua dimensão é 0.

Resposta

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