Beleza, vamos lá! Temos dois subespaços e no espaço , definidos por certas equações lineares. Nosso objetivo é descobrir as dimensões dos seguintes subespaços:
: a interseção de e
: a soma de e
: o quociente da interseção pela soma
Para isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, interseção, soma de subespaços e cálculos de dimensões. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a dimensão da interseção . Isso significa encontrar todos os vetores que satisfazem as duas equações que definem e simultaneamente. As equações são:
Para resolver esse sistema, podemos utilizar métodos de eliminação ou substituição. Vamos somar as duas equações para eliminar :
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, temos e . Podemos expressar os vetores da interseção em termos de e :
Isso mostra que é gerado pelos vetores e , que são linearmente independentes.
Portanto, a dimensão de é 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular a dimensão de , que é a soma dos subespaços e . Para isso, usamos a seguinte fórmula da dimensão para a soma de dois subespaços:
Primeiro, precisamos encontrar as dimensões de e individualmente.
Dimensão de :
A equação que define é . Esse é um único restrição em , então a dimensão de é .
Dimensão de :
A equação que define é . Também é uma única restrição em , então a dimensão de é .
Agora, aplicando a fórmula:
Portanto, a dimensão de é 4.
Passo 4
Por último, vamos calcular a dimensão do quociente . No entanto, há um pequeno ajuste necessário aqui. A fórmula correta para o quociente de duas subespaços envolve que seja um subespaço contendo . Porém, observamos que tem dimensão 4, que é a dimensão total do espaço . Isso significa que .
Quando temos , o quociente na verdade não é definido da maneira tradicional, pois não é um subespaço de .
Entretanto, se considerarmos a dimensão de sobre , já que é todo o espaço, o quociente acaba sendo trivial e sua dimensão é 0.