Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o conjunto de três matrizes é Linearmente Dependente (L.D.) ou Linearmente Independente (L.I.). A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear de vetores (nesse caso, matrizes). Vamos precisar montar uma combinação linear dessas matrizes e ver se conseguimos encontrar coeficientes que não sejam todos zero que deixem essa combinação igual à matriz zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser Linearmente Dependente ou Independente. Um conjunto de vetores (ou matrizes) é Linearmente Independente se a única combinação linear que resulta na matriz zero é quando todos os coeficientes são zero. Se conseguirmos achar uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dê a matriz zero, o conjunto é Linearmente Dependente.
Passo 3
Vamos chamar as matrizes de , e :
Queremos encontrar escalares tais que:
Passo 4
Vamos escrever isso de forma mais explícita, somando as matrizes:
Isso resulta em um sistema de equações:
Passo 5
Vamos simplificar as equações:
Da equação (2), já sabemos que .
Passo 6
Substituindo na equação (3):
Com na equação (1):
Passo 7
Todos os coeficientes são zero. Isso significa que a única solução para a combinação linear ser igual à matriz zero é quando todos os coeficientes são zero.