Determine se o conjunto é L.D. ou L.I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o conjunto de três matrizes é Linearmente Dependente (L.D.) ou Linearmente Independente (L.I.). A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear de vetores (nesse caso, matrizes). Vamos precisar montar uma combinação linear dessas matrizes e ver se conseguimos encontrar coeficientes que não sejam todos zero que deixem essa combinação igual à matriz zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser Linearmente Dependente ou Independente. Um conjunto de vetores (ou matrizes) é Linearmente Independente se a única combinação linear que resulta na matriz zero é quando todos os coeficientes são zero. Se conseguirmos achar uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dê a matriz zero, o conjunto é Linearmente Dependente.

Passo 3

Vamos chamar as matrizes de , e :
Queremos encontrar escalares tais que:

Passo 4

Vamos escrever isso de forma mais explícita, somando as matrizes:
Isso resulta em um sistema de equações:

Passo 5

Vamos simplificar as equações:
Da equação (2), já sabemos que .

Passo 6

Substituindo na equação (3):
Com na equação (1):

Passo 7

Todos os coeficientes são zero. Isso significa que a única solução para a combinação linear ser igual à matriz zero é quando todos os coeficientes são zero.

Resposta

O conjunto é Linearmente Independente.

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Dadas as matrizes e ,
Calcule: e
Calcule uma base de autovetores para a matriz .
Seja o conjunto das matrizes reais . Seja dada por
Verifique que é uma transformação linear. Escolha uma base ordenada para e calcule nesta base. Calcule o polinômio característico de T. Calcule os autovalores de T. T é diagonalizável?
Sejam as bases e nos complexos sobre os reais .
Calcule:
a) A matriz de mudança de base da base para ;
b) A matriz de mudança de base Q da base para S .