Determine se o conjunto S é L.D. ou L.I.
S=[cc1 & 0 2 & -1],[cc0 & 1 -1 & 1],[ll1 & 0 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o conjunto de três matrizes é Linearmente Dependente (L.D.) ou Linearmente Independente (L.I.). A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear de vetores (nesse caso, matrizes). Vamos precisar montar uma combinação linear dessas matrizes e ver se conseguimos encontrar coeficientes que não sejam todos zero que deixem essa combinação igual à matriz zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser Linearmente Dependente ou Independente. Um conjunto de vetores (ou matrizes) é Linearmente Independente se a única combinação linear que resulta na matriz zero é quando todos os coeficientes são zero. Se conseguirmos achar uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dê a matriz zero, o conjunto é Linearmente Dependente.

Passo 3

Vamos chamar as matrizes de A = 1 & 0 2 & -1 , B = 0 & 1 -1 & 1 , C = 1 & 0 0 & 1 , c1 A + c2 B + c3 C = 0 & 0 0 & 0 e :
Queremos encontrar escalares tais que:

Passo 4

Vamos escrever isso de forma mais explícita, somando as matrizes:
c1 1 & 0 2 & -1 + c2 0 & 1 -1 & 1 + c3 1 & 0 0 & 1 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta em um sistema de equações:
c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1 = 0 c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 0 = 0 c1 cdot 2 + c2 cdot (-1) + c3 cdot 0 = 0 c1 cdot (-1) + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 = 0

Passo 5

Vamos simplificar as equações:
c1 + c3 = 0 (1) c2 = 0 (2) 2c1 - c2 = 0 (3) - c1 + c2 + c3 = 0 (4)
Da equação (2), já sabemos que .

Passo 6

Substituindo 2c1 = 0 Rightarrow c1 = 0 na equação (3):
0 + c3 = 0 Rightarrow c3 = 0
Com na equação (1):

Passo 7

Todos os coeficientes são zero. Isso significa que a única solução para a combinação linear ser igual à matriz zero é quando todos os coeficientes são zero.

Resposta

O conjunto é Linearmente Independente.

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