Diga se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
Passo 1
Beleza, vamos analisar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Nesse exercício, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar verificar se
satisfaz três condições fundamentais para ser um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado quanto à adição de vetores e ser fechado quanto à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em nosso caso é a matriz onde todos os elementos são zero:
Aqui,
e
, então
se torna
, que é verdadeiro. Portanto, o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob a adição de vetores. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes quaisquer em
e somarmos, o resultado também deve estar em
. Suponha que temos duas matrizes em
:
Sabemos que
e
. Ao somar
e
:
Precisamos verificar se
:
Como a igualdade é satisfeita,
também está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos uma matriz de
por um escalar qualquer
, o resultado também deve estar em
. Seja:
Sabemos que
. Ao multiplicar por
:
Precisamos verificar se
:
A igualdade é satisfeita, então
também está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial.