Diga se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais W=[lla & b c & d]: b=4 c

Passo 1

Beleza, vamos analisar se o conjunto a & b c & d é um subespaço vetorial. Nesse exercício, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar verificar se satisfaz três condições fundamentais para ser um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado quanto à adição de vetores e ser fechado quanto à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 & 0 0 & 0 . O vetor zero em nosso caso é a matriz onde todos os elementos são zero:
Aqui, e , então se torna , que é verdadeiro. Portanto, o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos verificar se A = a1 & b1 c1 & d1 , B = a2 & b2 c2 & d2 é fechado sob a adição de vetores. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes quaisquer em A + B = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2 e somarmos, o resultado também deve estar em b1 + b2 = 4c1 + 4c2 = 4(c1 + c2) . Suponha que temos duas matrizes em :
Sabemos que e . Ao somar e :
Precisamos verificar se :
Como a igualdade é satisfeita, também está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se A = a & b c & d in W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos uma matriz de kA = ka & kb kc & kd por um escalar qualquer kb = k(4c) = 4(kc) , o resultado também deve estar em . Seja:
Sabemos que . Ao multiplicar por :
Precisamos verificar se :
A igualdade é satisfeita, então também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial.

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