Sejam as bases
e
nos complexos
sobre os reais
.
Calcule:
a) A matriz de mudança de base
da base
para
;
b) A matriz de mudança de base Q da base
para S .
Calcule:
a) A matriz de mudança de base
b) A matriz de mudança de base Q da base
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas bases no conjunto dos números complexos
, que está sendo considerado como um espaço vetorial sobre os números reais
. As bases são
e
. Nosso objetivo é encontrar as matrizes de mudança de base:
a) A matriz
que muda de
para
.
b) A matriz
que muda de
para
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base na outra e usar conceitos de álgebra linear envolvendo sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Ou seja, se tivermos um vetor representado na base
, a matriz
nos ajuda a encontrar como esse vetor é representado na base
.
Passo 3
Para encontrar a matriz
, precisamos expressar cada vetor da base
em termos da base
. Ou seja, vamos escrever
e
como combinações lineares de
e
.
Passo 4
Vamos começar com o vetor
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 5
Expandindo a equação:
Passo 6
Agora, igualamos as partes reais e as partes imaginárias:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a equação 1 da equação 2:
Substituindo
na equação 1:
Passo 8
Então, temos:
Passo 9
Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 10
Expandindo a equação:
Passo 11
Igualando as partes reais e imaginárias:
Passo 12
Resolvendo o sistema:
-
→ -
→
Então,
Passo 13
Portanto:
Passo 14
Agora, podemos construir a matriz de mudança de base
. As coordenadas encontradas serão as colunas da matriz
:
Passo 15
Para encontrar a matriz de mudança de base
de
para
, percebemos que
é a matriz inversa de
, ou seja,
.
Passo 16
Vamos calcular a inversa de
. Primeiro, calculamos o determinante de
:
Como o determinante é 1, a matriz inversa é:
Resposta
a) A matriz de mudança de base
de
para
é:
b) A matriz de mudança de base
de
para
é:
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto das matrizes reais
. Seja
dada por
Verifique que
é uma transformação linear. Escolha uma base ordenada para
e calcule
nesta base. Calcule o polinômio característico de T. Calcule os autovalores de T. T é diagonalizável?
Determine se o conjunto
é L.D. ou L.I.
Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais