Sejam as bases e nos complexos sobre os reais .
Calcule:
a) A matriz de mudança de base da base para ;
b) A matriz de mudança de base Q da base para S .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas bases no conjunto dos números complexos , que está sendo considerado como um espaço vetorial sobre os números reais . As bases são e . Nosso objetivo é encontrar as matrizes de mudança de base:
a) A matriz que muda de para .
b) A matriz que muda de para .
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base na outra e usar conceitos de álgebra linear envolvendo sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Ou seja, se tivermos um vetor representado na base , a matriz nos ajuda a encontrar como esse vetor é representado na base .

Passo 3

Para encontrar a matriz , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . Ou seja, vamos escrever e como combinações lineares de e .

Passo 4

Vamos começar com o vetor . Queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 5

Expandindo a equação:

Passo 6

Agora, igualamos as partes reais e as partes imaginárias:
á

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a equação 1 da equação 2:
Substituindo na equação 1:

Passo 8

Então, temos:

Passo 9

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor . Queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 10

Expandindo a equação:

Passo 11

Igualando as partes reais e imaginárias:
á

Passo 12

Resolvendo o sistema:
Então,

Passo 13

Portanto:

Passo 14

Agora, podemos construir a matriz de mudança de base . As coordenadas encontradas serão as colunas da matriz :

Passo 15

Para encontrar a matriz de mudança de base de para , percebemos que é a matriz inversa de , ou seja, .

Passo 16

Vamos calcular a inversa de . Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é 1, a matriz inversa é:

Resposta

a) A matriz de mudança de base de para é:
b) A matriz de mudança de base de para é:

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