Sejam as bases S=1, j e S^prime=1+j, 1+2 j nos complexos C sobre os reais R.
Calcule:
a) A matriz de mudança de base P da base S para S^prime;
b) A matriz de mudança de base Q da base S^prime para S .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas bases no conjunto dos números complexos C, que está sendo considerado como um espaço vetorial sobre os números reais R. As bases são S = 1, j e S' = 1+j, 1+2j. Nosso objetivo é encontrar as matrizes de mudança de base:
a) A matriz P que muda de S para S'.
b) A matriz Q que muda de S' para S.
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base na outra e usar conceitos de álgebra linear envolvendo sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Ou seja, se tivermos um vetor representado na base S, a matriz P nos ajuda a encontrar como esse vetor é representado na base S'.

Passo 3

Para encontrar a matriz P, precisamos expressar cada vetor da base S em termos da base S'. Ou seja, vamos escrever 1 e j como combinações lineares de 1+j e 1+2j.

Passo 4

Vamos começar com o vetor 1. Queremos encontrar escalares a e b tais que:
1 = a(1 + j) + b(1 + 2j)

Passo 5

Expandindo a equação:
1 = a + aj + b + 2bj
1 = (a + b) + j(a + 2b)

Passo 6

Agora, igualamos as partes reais e as partes imaginárias:
a + b = 1 (parte real)
a + 2b = 0 (parte imaginária) á

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  1. a + b = 1
  2. a + 2b = 0
Subtraindo a equação 1 da equação 2:
(a + 2b) - (a + b) = 0 - 1
b = -1
Substituindo b = -1 na equação 1:
a - 1 = 1
a = 2

Passo 8

Então, temos:
1 = 2(1 + j) -1(1 + 2j)

Passo 9

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor j. Queremos encontrar escalares c e d tais que:
j = c(1 + j) + d(1 + 2j)

Passo 10

Expandindo a equação:
j = c + cj + d + 2dj
j = (c + d) + j(c + 2d)

Passo 11

Igualando as partes reais e imaginárias:
c + d = 0 (parte real)
c + 2d = 1 (parte imaginária) á

Passo 12

Resolvendo o sistema:
  1. c + d = 0 c = -d
  2. -d + 2d = 1 d = 1
Então, c = -1

Passo 13

Portanto:
j = -1(1 + j) + 1(1 + 2j)

Passo 14

Agora, podemos construir a matriz de mudança de base P. As coordenadas encontradas serão as colunas da matriz P:
P = 2 & -1 -1 & 1

Passo 15

Para encontrar a matriz de mudança de base Q de S' para S, percebemos que Q é a matriz inversa de P, ou seja, Q = P^-1.

Passo 16

Vamos calcular a inversa de P. Primeiro, calculamos o determinante de P:
det(P) = (2)(1) - (-1)(-1) = 2 - 1 = 1
Como o determinante é 1, a matriz inversa é:
P^-1 = 11 1 & 1 1 & 2 = 1 & 1 1 & 2

Resposta

a) A matriz de mudança de base P de S para S' é:
P = 2 & -1 -1 & 1
b) A matriz de mudança de base Q de S' para S é:
Q = 1 & 1 1 & 2

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