Seja o conjunto das matrizes reais . Seja dada por
Verifique que é uma transformação linear. Escolha uma base ordenada para e calcule nesta base. Calcule o polinômio característico de T. Calcule os autovalores de T. T é diagonalizável?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear que age sobre matrizes . Nosso objetivo é:
Verificar se é realmente uma transformação linear.
Escolher uma base ordenada para o espaço das matrizes .
Calcular a representação de nessa base.
Encontrar o polinômio característico de .
Determinar os autovalores de .
Verificar se é diagonalizável.
Para tudo isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, bases, matrizes de transformação, polinômios característicos e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se é uma transformação linear. Uma função é linear se ela respeita duas propriedades:
Aditividade:
Homogeneidade:
Vamos verificar isso para .
Seja:
Então:
E para um escalar :
Como ambas as propriedades são satisfeitas, é uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma base ordenada para . A base mais comum e simples é a base canônica, que consiste nas seguintes matrizes:
Chamaremos essas matrizes de respectivamente. Essa base é conveniente porque cada matriz da base tem apenas um elemento diferente de zero, facilitando os cálculos.
Passo 4
Vamos calcular a matriz de na base . Para isso, aplicamos a cada matriz da base e escrevemos o resultado como uma combinação linear das matrizes da base.
Aplicando em :
Aplicando em :
Aplicando em :
Aplicando em :
Agora, organizamos esses resultados como colunas em uma matriz:
Passo 5
Vamos encontrar o polinômio característico de . Esse polinômio é dado por:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Subtraindo da matriz de :
Calculando o determinante:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo :
Então, os autovalores são e , ambos com multiplicidade 2.
Passo 7
Por fim, vamos verificar se é diagonalizável. Uma transformação linear é diagonalizável se existe uma base formada por seus autovetores, ou seja, se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual à dimensão do espaço.
Como o polinômio característico tem raízes e , cada um com multiplicidade algébrica 2, precisamos verificar as multiplicidades geométricas.
Observando a matriz , vemos que ela já está quase em forma diagonal, exceto pelo bloco e . Isso indica que temos duas dimensões para cada autovalor, o que sugere que é diagonalizável.
Resposta
Sim, a transformação é linear, sua matriz na base escolhida é , o polinômio característico é , os autovalores são e , e é diagonalizável.