Seja o conjunto das matrizes reais . Seja dada por
Verifique que é uma transformação linear. Escolha uma base ordenada para e calcule nesta base. Calcule o polinômio característico de T. Calcule os autovalores de T. T é diagonalizável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear que age sobre matrizes . Nosso objetivo é:
  1. Verificar se é realmente uma transformação linear.
  2. Escolher uma base ordenada para o espaço das matrizes .
  3. Calcular a representação de nessa base.
  4. Encontrar o polinômio característico de .
  5. Determinar os autovalores de .
  6. Verificar se é diagonalizável.
Para tudo isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, bases, matrizes de transformação, polinômios característicos e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se é uma transformação linear. Uma função é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar isso para .
Seja:
Então:
E para um escalar :
Como ambas as propriedades são satisfeitas, é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma base ordenada para . A base mais comum e simples é a base canônica, que consiste nas seguintes matrizes:
Chamaremos essas matrizes de respectivamente. Essa base é conveniente porque cada matriz da base tem apenas um elemento diferente de zero, facilitando os cálculos.

Passo 4

Vamos calcular a matriz de na base . Para isso, aplicamos a cada matriz da base e escrevemos o resultado como uma combinação linear das matrizes da base.
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :
Agora, organizamos esses resultados como colunas em uma matriz:

Passo 5

Vamos encontrar o polinômio característico de . Esse polinômio é dado por:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Subtraindo da matriz de :
Calculando o determinante:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo :
Então, os autovalores são e , ambos com multiplicidade 2.

Passo 7

Por fim, vamos verificar se é diagonalizável. Uma transformação linear é diagonalizável se existe uma base formada por seus autovetores, ou seja, se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual à dimensão do espaço.
Como o polinômio característico tem raízes e , cada um com multiplicidade algébrica 2, precisamos verificar as multiplicidades geométricas.
Observando a matriz , vemos que ela já está quase em forma diagonal, exceto pelo bloco e . Isso indica que temos duas dimensões para cada autovalor, o que sugere que é diagonalizável.

Resposta

Sim, a transformação é linear, sua matriz na base escolhida é , o polinômio característico é , os autovalores são e , e é diagonalizável.

Exercícios relacionados

Determine se o conjunto é L.D. ou L.I.
Dadas as matrizes e ,
Calcule: e
Sejam as bases e nos complexos sobre os reais .
Calcule:
a) A matriz de mudança de base da base para ;
b) A matriz de mudança de base Q da base para S .