Seja E=R^2 times 2 o conjunto das matrizes reais 2 times 2. Seja T: E E dada por
T((cc x & y z & w ))=(ll 1 & 2 0 & 3 )(cc x & y z & w )
Verifique que T é uma transformação linear. Escolha uma base ordenada para E e calcule T nesta base. Calcule o polinômio característico de T. Calcule os autovalores de T. T é diagonalizável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear que age sobre matrizes . Nosso objetivo é:
  1. Verificar se é realmente uma transformação linear.
  2. Escolher uma base ordenada para o espaço das matrizes .
  3. Calcular a representação de nessa base.
  4. Encontrar o polinômio característico de .
  5. Determinar os autovalores de .
  6. Verificar se é diagonalizável.
Para tudo isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, bases, matrizes de transformação, polinômios característicos e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se A = x & y z & w , B = x' & y' z' & w' é uma transformação linear. Uma função T(A + B) = 1 & 2 0 & 3 (A + B) = 1 & 2 0 & 3 A + 1 & 2 0 & 3 B = T(A) + T(B) é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Aditividade: T(cA) = 1 & 2 0 & 3 (cA) = c 1 & 2 0 & 3 A = cT(A)
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar isso para .
Seja:
Então:
E para um escalar :
Como ambas as propriedades são satisfeitas, é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma base ordenada para B = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 . A base mais comum e simples é a base canônica, que consiste nas seguintes matrizes:
Chamaremos essas matrizes de respectivamente. Essa base é conveniente porque cada matriz da base tem apenas um elemento diferente de zero, facilitando os cálculos.

Passo 4

Vamos calcular a matriz de T(E11) = 1 & 2 0 & 3 1 & 0 0 & 0 = 1 & 0 0 & 0 = E11 na base T(E12) = 1 & 2 0 & 3 0 & 1 0 & 0 = 0 & 1 0 & 0 = E12 . Para isso, aplicamos T(E21) = 1 & 2 0 & 3 0 & 0 1 & 0 = 2 & 0 3 & 0 = 2E11 + 3E21 a cada matriz da base e escrevemos o resultado como uma combinação linear das matrizes da base.
  1. Aplicando T(E22) = 1 & 2 0 & 3 0 & 0 0 & 1 = 0 & 2 0 & 3 = 2E12 + 3E22 em [T]B = 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 3 :
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :
Agora, organizamos esses resultados como colunas em uma matriz:

Passo 5

Vamos encontrar o polinômio característico de p(lambda) = det([T]B - lambda I) . Esse polinômio é dado por:
[T]B - lambda I = 1-lambda & 0 & 2 & 0 0 & 1-lambda & 0 & 2 0 & 0 & 3-lambda & 0 0 & 0 & 0 & 3-lambda
Onde p(lambda) = det([T]B - lambda I) = (1-lambda)^2 (3-lambda)^2 é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Subtraindo da matriz de :
Calculando o determinante:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo (1-lambda)^2 (3-lambda)^2 = 0 :
Então, os autovalores são e , ambos com multiplicidade 2.

Passo 7

Por fim, vamos verificar se 1 & 0 0 & 1 é diagonalizável. Uma transformação linear é diagonalizável se existe uma base formada por seus autovetores, ou seja, se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual à dimensão do espaço.
Como o polinômio característico tem raízes 3 & 0 0 & 3 e , cada um com multiplicidade algébrica 2, precisamos verificar as multiplicidades geométricas.
Observando a matriz , vemos que ela já está quase em forma diagonal, exceto pelo bloco e . Isso indica que temos duas dimensões para cada autovalor, o que sugere que é diagonalizável.

Resposta

Sim, a transformação 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 3 é linear, sua matriz na base escolhida é , o polinômio característico é , os autovalores são e , e é diagonalizável.

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