Calcule uma base para o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma base para o subespaço de gerado pelo conjunto . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre bases, espaços vetoriais e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os vetores de são linearmente independentes e, se não forem, identificar quais vetores formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores da coleção em uma matriz, colocando cada vetor como uma linha da matriz:
Passo 3
Agora, vamos realizar operações de linhas para simplificar essa matriz e descobrir se alguns vetores são combinações lineares dos outros. Isso nos ajuda a identificar quais vetores são independentes.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das outras linhas:
Linha 2 menos Linha 1:
Linha 3 menos Linha 1:
Linha 4 menos 2 vezes a Linha 1:
A matriz fica assim:
Passo 4
Observamos que as linhas 2, 3 e 4 são múltiplos umas das outras. Para simplificar, vamos dividir a Linha 2 por :
Fazendo isso, as outras linhas também se tornam múltiplos da Linha 2:
Linha 3: Linha 2
Linha 4: Linha 2
Isso indica que apenas duas linhas são necessárias para descrever todo o espaço gerado por .
Passo 5
Portanto, os vetores que formam uma base para o subespaço gerado por são os que correspondem às linhas independentes da matriz original. Esses vetores são: