Calcule uma base para o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma base para o subespaço de gerado pelo conjunto . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre bases, espaços vetoriais e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os vetores de são linearmente independentes e, se não forem, identificar quais vetores formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores da coleção em uma matriz, colocando cada vetor como uma linha da matriz:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linhas para simplificar essa matriz e descobrir se alguns vetores são combinações lineares dos outros. Isso nos ajuda a identificar quais vetores são independentes.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das outras linhas:
  • Linha 2 menos Linha 1:
  • Linha 3 menos Linha 1:
  • Linha 4 menos 2 vezes a Linha 1:
A matriz fica assim:

Passo 4

Observamos que as linhas 2, 3 e 4 são múltiplos umas das outras. Para simplificar, vamos dividir a Linha 2 por :
Fazendo isso, as outras linhas também se tornam múltiplos da Linha 2:
  • Linha 3: Linha 2
  • Linha 4: Linha 2
Isso indica que apenas duas linhas são necessárias para descrever todo o espaço gerado por .

Passo 5

Portanto, os vetores que formam uma base para o subespaço gerado por são os que correspondem às linhas independentes da matriz original. Esses vetores são:

Resposta

Uma base para o subespaço gerado por é .

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Mostre que se é um conjunto linearmente dependente de vetores em um espaço vetorial e se é um vetor qualquer em , então também é linearmente dependente em .
Seja , onde é o número imaginário. Escolha uma base ordenada de e calcule nesta base, i.e., calcule .
Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) .
b) .
c) .
d) .
Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . Determinar (núcleo de ) e uma base para esse subespaço.