Calcule uma base para o subespaço do R^4 gerado pelo conjunto S abaixo.
S=(1,4,5,8),(1,2,3,4),(1,0,1,0),(2,2,4,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma base para o subespaço de gerado pelo conjunto . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre bases, espaços vetoriais e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os vetores de são linearmente independentes e, se não forem, identificar quais vetores formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores da coleção 1 & 4 & 5 & 8 1 & 2 & 3 & 4 1 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & 4 & 4 em uma matriz, colocando cada vetor como uma linha da matriz:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linhas para simplificar essa matriz e descobrir se alguns vetores são combinações lineares dos outros. Isso nos ajuda a identificar quais vetores são independentes.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das outras linhas:
  • Linha 2 menos Linha 1:
(1-1, 2-4, 3-5, 4-8) = (0, -2, -2, -4)
  • Linha 3 menos Linha 1:
(1-1, 0-4, 1-5, 0-8) = (0, -4, -4, -8)
  • Linha 4 menos 2 vezes a Linha 1:
(2-2, 2-8, 4-10, 4-16) = (0, -6, -6, -12)
A matriz fica assim:
1 & 4 & 5 & 8 0 & -2 & -2 & -4 0 & -4 & -4 & -8 0 & -6 & -6 & -12

Passo 4

Observamos que as linhas 2, 3 e 4 são múltiplos umas das outras. Para simplificar, vamos dividir a Linha 2 por (0, 1, 1, 2) :
Fazendo isso, as outras linhas também se tornam múltiplos da Linha 2:
  • Linha 3: Linha 2
  • Linha 4: Linha 2
Isso indica que apenas duas linhas são necessárias para descrever todo o espaço gerado por .

Passo 5

Portanto, os vetores que formam uma base para o subespaço gerado por (1, 4, 5, 8) e (1, 2, 3, 4) são os que correspondem às linhas independentes da matriz original. Esses vetores são:

Resposta

Uma base para o subespaço gerado por é .

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