Se T: R^3 R^2 é uma transformação linear tal que T(1,1,1)=(0,6), T(-1,0,1)=(-2,1) e T(1,-2,1)=(0,3)
Observem que os vetores (1,1,1),(-1,0,1),(1,-2,1) formam uma base (ortogonal) de R^3. Determinar N(T) (núcleo de T ) e uma base para esse subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear definida por três vetores que formam uma base ortogonal de . Estamos querendo descobrir o núcleo de , ou seja, todos os vetores em que transforma no vetor zero em . Para isso, vamos usar a teoria das transformações lineares e propriedades de bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear N(T) = v in R^3 mid T(v) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em tais que . Em termos matemáticos:

Passo 3

Sabemos que v = a(1,1,1) + b(-1,0,1) + c(1,-2,1) é uma base ortogonal de . Isso significa que qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear desses vetores base:
onde são escalares.

Passo 4

Aplicando a transformação T(v) = aT(1,1,1) + bT(-1,0,1) + cT(1,-2,1) em T(v) = a(0,6) + b(-2,1) + c(0,3) = (0a - 2b + 0c, 6a + 1b + 3c) = (-2b, 6a + b + 3c) , temos:
Substituindo os valores dados:

Passo 5

Para que -2b = 0 e 6a + b + 3c = 0 esteja no núcleo de , precisamos que . Então, igualamos as componentes:

Passo 6

Da primeira equação, 6a + 0 + 3c = 0 Rightarrow 6a + 3c = 0 Rightarrow 2a + c = 0 implica que .
Substituindo na segunda equação:

Passo 7

Resolvendo para c = -2a :
Então, é livre para assumir qualquer valor real. Vamos chamar , onde é um parâmetro real.

Passo 8

Substituindo v = t(1,1,1) + 0(-1,0,1) + (-2t)(1,-2,1) = t(1,1,1) - 2t(1,-2,1) e v = (t - 2t, t + 4t, t - 2t) = (-t, 5t, -t) na expressão de :
Vamos simplificar:

Passo 9

Fatorando v = t(-1, 5, -1) :
Isso mostra que todo vetor no núcleo de é um múltiplo escalar de .

Resposta

O núcleo de é . Uma base para é o vetor .

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