Se
é uma transformação linear tal que
e
Observem que os vetores
formam uma base (ortogonal) de
. Determinar
(núcleo de
) e uma base para esse subespaço.
Observem que os vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear
definida por três vetores que formam uma base ortogonal de
. Estamos querendo descobrir o núcleo de
, ou seja, todos os vetores em
que
transforma no vetor zero em
. Para isso, vamos usar a teoria das transformações lineares e propriedades de bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
tais que
. Em termos matemáticos:
Passo 3
Sabemos que
é uma base ortogonal de
. Isso significa que qualquer vetor
pode ser escrito como combinação linear desses vetores base:
onde
são escalares.
Passo 4
Aplicando a transformação
em
, temos:
Substituindo os valores dados:
Passo 5
Para que
esteja no núcleo de
, precisamos que
. Então, igualamos as componentes:
Passo 6
Da primeira equação,
implica que
.
Substituindo
na segunda equação:
Passo 7
Resolvendo para
:
Então,
é livre para assumir qualquer valor real. Vamos chamar
, onde
é um parâmetro real.
Passo 8
Substituindo
e
na expressão de
:
Vamos simplificar:
Passo 9
Fatorando
:
Isso mostra que todo vetor no núcleo de
é um múltiplo escalar de
.
Resposta
O núcleo de
é
. Uma base para
é o vetor
.
Exercícios relacionados
Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) .
b) .
c) .
d) .
a)
b)
c)
d)
Calcule uma base para o subespaço do
gerado pelo conjunto
abaixo.
Encontre
e
em que