Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . Determinar (núcleo de ) e uma base para esse subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear definida por três vetores que formam uma base ortogonal de . Estamos querendo descobrir o núcleo de , ou seja, todos os vetores em que transforma no vetor zero em . Para isso, vamos usar a teoria das transformações lineares e propriedades de bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em tais que . Em termos matemáticos:

Passo 3

Sabemos que é uma base ortogonal de . Isso significa que qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear desses vetores base:
onde são escalares.

Passo 4

Aplicando a transformação em , temos:
Substituindo os valores dados:

Passo 5

Para que esteja no núcleo de , precisamos que . Então, igualamos as componentes:

Passo 6

Da primeira equação, implica que .
Substituindo na segunda equação:

Passo 7

Resolvendo para :
Então, é livre para assumir qualquer valor real. Vamos chamar , onde é um parâmetro real.

Passo 8

Substituindo e na expressão de :
Vamos simplificar:

Passo 9

Fatorando :
Isso mostra que todo vetor no núcleo de é um múltiplo escalar de .

Resposta

O núcleo de é . Uma base para é o vetor .

Exercícios relacionados

Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) .
b) .
c) .
d) .
Calcule uma base para o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.
Encontre e em que