Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: a) . b) . c) . d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item **a)**. O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço definido por: Aqui, estamos trabalhando com **subespaços vetoriais** em . Para encontrar os geradores, vamos precisar resolver a equação linear dada e expressar um dos vetores em termos dos outros, o que nos permitirá identificar os vetores que geram todo o subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para uma das variáveis. Vamos isolar : Agora, podemos expressar qualquer vetor em como: Isso significa que podemos escrever esse vetor como combinação linear de e :

Passo 3

Os vetores e são os **vetores geradores** do subespaço , já que qualquer vetor em pode ser obtido combinando esses dois vetores com as escalas apropriadas de e .

Passo 4

Vamos agora para o item **b)**. O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço definido por: Estamos trabalhando com subespaços vetoriais em . Precisamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos das outras e identificar os geradores.

Passo 5

Primeiro, vamos resolver as equações: 1. implica . 2. implica . Agora, substituindo essas relações no vetor geral, temos: Podemos escrever isso como:

Passo 6

Os vetores e são os **geradores** do subespaço , pois qualquer vetor em pode ser formado combinando esses dois vetores com múltiplos escalares de e .

Passo 7

Passando para o item **c)**. O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço definido por: Aqui, estamos lidando com matrizes 2x2. Precisamos resolver as condições dadas para expressar as entradas da matriz em termos de variáveis livres e identificar os geradores.

Passo 8

As condições são: 1. implica . 2. . Assim, qualquer matriz em tem a forma: Podemos expressar isso como:

Passo 9

Os vetores (nesse caso, matrizes) e são os **geradores** do subespaço , pois qualquer matriz em pode ser formada combinando essas duas matrizes com os escalares apropriados de e .

Passo 10

Finalmente, vamos resolver o item **d)**. O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço definido por: Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2. Precisamos resolver a condição dada para expressar os coeficientes em termos de variáveis livres e identificar os geradores.

Passo 11

A condição é . Vamos resolver para : Substituindo isso no polinômio, temos: Isso mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 12

Os polinômios e são os **geradores** do subespaço , pois qualquer polinômio em pode ser formado combinando esses dois polinômios com os escalares apropriados de e .

Resposta

Um conjunto de geradores para é:

Exercícios relacionados

Calcule uma base para o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.
Mostre que se é um conjunto linearmente dependente de vetores em um espaço vetorial e se é um vetor qualquer em , então também é linearmente dependente em .