Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item a). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço
definido por:
Aqui, estamos trabalhando com subespaços vetoriais em
. Para encontrar os geradores, vamos precisar resolver a equação linear dada e expressar um dos vetores em termos dos outros, o que nos permitirá identificar os vetores que geram todo o subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação
para uma das variáveis. Vamos isolar
:
Agora, podemos expressar qualquer vetor em
como:
Isso significa que podemos escrever esse vetor como combinação linear de
e
:
Passo 3
Os vetores
e
são os vetores geradores do subespaço
, já que qualquer vetor em
pode ser obtido combinando esses dois vetores com as escalas apropriadas de
e
.
Passo 4
Vamos agora para o item b). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço
definido por:
Estamos trabalhando com subespaços vetoriais em
. Precisamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos das outras e identificar os geradores.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver as equações:
-
implica . -
implica .
Agora, substituindo essas relações no vetor geral, temos:
Podemos escrever isso como:
Passo 6
Os vetores
e
são os geradores do subespaço
, pois qualquer vetor em
pode ser formado combinando esses dois vetores com múltiplos escalares de
e
.
Passo 7
Passando para o item c). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço
definido por:
Aqui, estamos lidando com matrizes 2x2. Precisamos resolver as condições dadas para expressar as entradas da matriz em termos de variáveis livres e identificar os geradores.
Passo 8
As condições são:
-
implica . -
.
Assim, qualquer matriz em
tem a forma:
Podemos expressar isso como:
Passo 9
Os vetores (nesse caso, matrizes)
e
são os geradores do subespaço
, pois qualquer matriz em
pode ser formada combinando essas duas matrizes com os escalares apropriados de
e
.
Passo 10
Finalmente, vamos resolver o item d). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço
definido por:
Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2. Precisamos resolver a condição dada para expressar os coeficientes em termos de variáveis livres e identificar os geradores.
Passo 11
A condição é
. Vamos resolver para
:
Substituindo isso no polinômio, temos:
Isso mostra que qualquer polinômio em
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Passo 12
Os polinômios
e
são os geradores do subespaço
, pois qualquer polinômio em
pode ser formado combinando esses dois polinômios com os escalares apropriados de
e
.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é: