Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) W=(x, y, z) in R^3 ; 2 x-y+3 z=0.
b) W=(x, y, z, w) in R^4 ; x-y=0 e-x+w=0.
c) W=(lla & b c & d) in M(2 times 2) ; a-d=0, c=0.
d) W=p(x)=a+b x+c x^2 in P2(R) ; a-2 b=c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item a). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço W = (x, y, z) in R^3 ; 2x - y + 3z = 0 definido por:
Aqui, estamos trabalhando com subespaços vetoriais em . Para encontrar os geradores, vamos precisar resolver a equação linear dada e expressar um dos vetores em termos dos outros, o que nos permitirá identificar os vetores que geram todo o subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação y = 2x + 3z para uma das variáveis. Vamos isolar (x, y, z) = (x, 2x + 3z, z) :
(x, 2x + 3z, z) = x cdot (1, 2, 0) + z cdot (0, 3, 1)
Agora, podemos expressar qualquer vetor em como:
Isso significa que podemos escrever esse vetor como combinação linear de e :

Passo 3

Os vetores e são os vetores geradores do subespaço , já que qualquer vetor em pode ser obtido combinando esses dois vetores com as escalas apropriadas de e .

Passo 4

Vamos agora para o item b). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço W = (x, y, z, w) in R^4 ; x - y = 0 e -x + w = 0 definido por:
Estamos trabalhando com subespaços vetoriais em . Precisamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos das outras e identificar os geradores.

Passo 5

Primeiro, vamos resolver as equações:
  1. (x, y, z, w) = (x, x, z, x) implica (x, x, z, x) = x cdot (1, 1, 0, 1) + z cdot (0, 0, 1, 0) .
  2. implica .
Agora, substituindo essas relações no vetor geral, temos:
Podemos escrever isso como:

Passo 6

Os vetores e são os geradores do subespaço , pois qualquer vetor em pode ser formado combinando esses dois vetores com múltiplos escalares de e .

Passo 7

Passando para o item c). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço W = a & b c & d in M(2 times 2) ; a - d = 0, c = 0 definido por:
Aqui, estamos lidando com matrizes 2x2. Precisamos resolver as condições dadas para expressar as entradas da matriz em termos de variáveis livres e identificar os geradores.

Passo 8

As condições são:
  1. a & b 0 & a implica a & b 0 & a = a cdot 1 & 0 0 & 1 + b cdot 0 & 1 0 & 0 .
  2. .
Assim, qualquer matriz em tem a forma:
Podemos expressar isso como:

Passo 9

Os vetores (nesse caso, matrizes) 1 & 0 0 & 1 e 0 & 1 0 & 0 são os geradores do subespaço , pois qualquer matriz em pode ser formada combinando essas duas matrizes com os escalares apropriados de e .

Passo 10

Finalmente, vamos resolver o item d). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço W = p(x) = a + b x + c x^2 in P2(R) ; a - 2b = c definido por:
Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2. Precisamos resolver a condição dada para expressar os coeficientes em termos de variáveis livres e identificar os geradores.

Passo 11

A condição é a = 2b + c . Vamos resolver para p(x) = (2b + c) + b x + c x^2 = b(2 + x) + c(1 + x^2) :
Substituindo isso no polinômio, temos:
Isso mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 12

Os polinômios e são os geradores do subespaço , pois qualquer polinômio em pode ser formado combinando esses dois polinômios com os escalares apropriados de e .

Resposta

Um conjunto de geradores para , 2 + x, 1 + x^2 , é:

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