Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) .
b) .
c) .
d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item **a)**. O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço definido por:
Aqui, estamos trabalhando com **subespaços vetoriais** em . Para encontrar os geradores, vamos precisar resolver a equação linear dada e expressar um dos vetores em termos dos outros, o que nos permitirá identificar os vetores que geram todo o subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para uma das variáveis. Vamos isolar :
Agora, podemos expressar qualquer vetor em como:
Isso significa que podemos escrever esse vetor como combinação linear de e :
Passo 3
Os vetores e são os **vetores geradores** do subespaço , já que qualquer vetor em pode ser obtido combinando esses dois vetores com as escalas apropriadas de e .
Passo 4
Vamos agora para o item **b)**. O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço definido por:
Estamos trabalhando com subespaços vetoriais em . Precisamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos das outras e identificar os geradores.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver as equações:
1. implica .
2. implica .
Agora, substituindo essas relações no vetor geral, temos:
Podemos escrever isso como:
Passo 6
Os vetores e são os **geradores** do subespaço , pois qualquer vetor em pode ser formado combinando esses dois vetores com múltiplos escalares de e .
Passo 7
Passando para o item **c)**. O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço definido por:
Aqui, estamos lidando com matrizes 2x2. Precisamos resolver as condições dadas para expressar as entradas da matriz em termos de variáveis livres e identificar os geradores.
Passo 8
As condições são:
1. implica .
2. .
Assim, qualquer matriz em tem a forma:
Podemos expressar isso como:
Passo 9
Os vetores (nesse caso, matrizes) e são os **geradores** do subespaço , pois qualquer matriz em pode ser formada combinando essas duas matrizes com os escalares apropriados de e .
Passo 10
Finalmente, vamos resolver o item **d)**. O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço definido por:
Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2. Precisamos resolver a condição dada para expressar os coeficientes em termos de variáveis livres e identificar os geradores.
Passo 11
A condição é . Vamos resolver para :
Substituindo isso no polinômio, temos:
Isso mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear de e .
Passo 12
Os polinômios e são os **geradores** do subespaço , pois qualquer polinômio em pode ser formado combinando esses dois polinômios com os escalares apropriados de e .
Resposta
Um conjunto de geradores para é:
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Calcule uma base para o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.
Mostre que se é um conjunto linearmente dependente de vetores em um espaço vetorial e se é um vetor qualquer em , então também é linearmente dependente em .