Seja , onde é o número imaginário. Escolha uma base ordenada de e calcule nesta base, i.e., calcule .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que é formado por combinações lineares de , e , onde , e são números complexos. Nosso objetivo é escolher uma base ordenada para esse espaço e, em seguida, encontrar as coordenadas do vetor nessa base. Para isso, vamos precisar saber o que é uma base, como escolher uma base ordenada e como expressar um vetor nessa base usando coeficientes apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, queremos uma base para , que é formada por funções de , e . Vamos escolher uma base natural para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos escolher a base ordenada . Essa escolha faz sentido porque os três elementos são funções diferentes e independentes, o que garante que são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para . Agora que temos a base, podemos proceder para expressar o vetor nessa base.
Passo 4
Queremos encontrar as coordenadas de na base . Isso significa que precisamos encontrar os coeficientes , e tais que:
Comparando com a expressão de , temos:
Passo 5
Agora, igualando os coeficientes das funções correspondentes, podemos identificar os valores de , e :