Seja , onde é o número imaginário. Escolha uma base ordenada de e calcule nesta base, i.e., calcule .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que é formado por combinações lineares de , e , onde , e são números complexos. Nosso objetivo é escolher uma base ordenada para esse espaço e, em seguida, encontrar as coordenadas do vetor nessa base. Para isso, vamos precisar saber o que é uma base, como escolher uma base ordenada e como expressar um vetor nessa base usando coeficientes apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, queremos uma base para , que é formada por funções de , e . Vamos escolher uma base natural para facilitar os cálculos.

Passo 3

Vamos escolher a base ordenada . Essa escolha faz sentido porque os três elementos são funções diferentes e independentes, o que garante que são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para . Agora que temos a base, podemos proceder para expressar o vetor nessa base.

Passo 4

Queremos encontrar as coordenadas de na base . Isso significa que precisamos encontrar os coeficientes , e tais que:
Comparando com a expressão de , temos:

Passo 5

Agora, igualando os coeficientes das funções correspondentes, podemos identificar os valores de , e :
  • O coeficiente de é , então .
  • Não há termo de na expressão de , então .
  • O coeficiente de é , então .

Resposta

Assim, as coordenadas de na base são:

Exercícios relacionados

Seja , onde é o número imaginário. Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 3.
Seja , onde é o número imaginário. Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .
Mostre que se é um conjunto linearmente dependente de vetores em um espaço vetorial e se é um vetor qualquer em , então também é linearmente dependente em .
Calcule uma base para o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.