Seja
, onde
é o número imaginário. Escolha uma base ordenada
de
e calcule
nesta base, i.e., calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que é formado por combinações lineares de
,
e
, onde
,
e
são números complexos. Nosso objetivo é escolher uma base ordenada
para esse espaço
e, em seguida, encontrar as coordenadas do vetor
nessa base. Para isso, vamos precisar saber o que é uma base, como escolher uma base ordenada e como expressar um vetor nessa base usando coeficientes apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, queremos uma base para
, que é formada por funções de
,
e
. Vamos escolher uma base natural para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos escolher a base ordenada
. Essa escolha faz sentido porque os três elementos são funções diferentes e independentes, o que garante que são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para
. Agora que temos a base, podemos proceder para expressar o vetor
nessa base.
Passo 4
Queremos encontrar as coordenadas de
na base
. Isso significa que precisamos encontrar os coeficientes
,
e
tais que:
Comparando com a expressão de
, temos:
Passo 5
Agora, igualando os coeficientes das funções correspondentes, podemos identificar os valores de
,
e
:
- O coeficiente de
é , então . - Não há termo de
na expressão de , então . - O coeficiente de
é , então .
Resposta
Assim, as coordenadas de
na base
são: