Seja E=a cos (x)+b sin (x)+c e^i x ; a, b, c in C, onde i é o número imaginário. Escolha uma base ordenada B de E e calcule v=cos (x)+(1-2 i) e^i x nesta base, i.e., calcule [v]B.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto E que é formado por combinações lineares de cos(x), sin(x) e e^i x, onde a, b e c são números complexos. Nosso objetivo é escolher uma base ordenada B para esse espaço E e, em seguida, encontrar as coordenadas do vetor v = cos(x) + (1 - 2i) e^i x nessa base. Para isso, vamos precisar saber o que é uma base, como escolher uma base ordenada e como expressar um vetor nessa base usando coeficientes apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, queremos uma base para E, que é formada por funções de cos(x), sin(x) e e^i x. Vamos escolher uma base natural para facilitar os cálculos.

Passo 3

Vamos escolher a base ordenada B = cos(x), sin(x), e^i x . Essa escolha faz sentido porque os três elementos são funções diferentes e independentes, o que garante que são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para E. Agora que temos a base, podemos proceder para expressar o vetor v nessa base.

Passo 4

Queremos encontrar as coordenadas de v = cos(x) + (1 - 2i) e^i x na base B = cos(x), sin(x), e^i x . Isso significa que precisamos encontrar os coeficientes a, b e c tais que:
v = a cos(x) + b sin(x) + c e^i x
Comparando com a expressão de v, temos:
cos(x) + (1 - 2i) e^i x = a cos(x) + b sin(x) + c e^i x

Passo 5

Agora, igualando os coeficientes das funções correspondentes, podemos identificar os valores de a, b e c:
  • O coeficiente de cos(x) é 1, então a = 1.
  • Não há termo de sin(x) na expressão de v, então b = 0.
  • O coeficiente de e^i x é (1 - 2i), então c = 1 - 2i.

Resposta

Assim, as coordenadas de v na base B são:
[v]B = 1 0 1 - 2i

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