Mostre que se v1, v2, v3, v4, v5 é um conjunto linearmente dependente de vetores em um espaço vetorial V e se v6 é um vetor qualquer em V, então v1, v2, v3, v4, v5, v6 também é linearmente dependente em V.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores que é linearmente dependente em um espaço vetorial . Além disso, temos um sexto vetor qualquer em . Precisamos mostrar que, mesmo adicionando esse sexto vetor, o conjunto continua sendo linearmente dependente.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente e como essa propriedade se comporta quando adicionamos mais vetores ao conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Dizemos que um conjunto de vetores c1v1 + c2v2 + dots + cnvn = 0 é linearmente dependente se existe uma combinação linear desses vetores igual ao vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes na combinação não é zero. Em termos matemáticos:
onde nem todos os são iguais a zero.
No nosso caso, como são linearmente dependentes, existe uma combinação desses vetores que resulta no vetor zero, com pelo menos um coeficiente diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar o conjunto aumentado que inclui o sexto vetor . Queremos mostrar que esse novo conjunto também é linearmente dependente.
Sabemos que se temos um conjunto linearmente dependente e adicionamos mais vetores a ele, o conjunto resultante também será linearmente dependente. Isso acontece porque a dependência já existente no conjunto original ainda está presente no conjunto aumentado.

Passo 4

Especificamente, já que c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 + c5v5 = 0 são linearmente dependentes, existe pelo menos uma combinação não trivial desses vetores que resulta no vetor zero. Podemos escrever isso como:
onde pelo menos um dos coeficientes é diferente de zero.

Passo 5

Agora, vamos incluir o sexto vetor c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 + c5v5 + 0 cdot v6 = 0 na combinação linear. Podemos simplesmente adicionar à equação acima:
Essa é uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero, e como pelo menos um dos coeficientes (de a ) é diferente de zero, temos uma combinação não trivial.

Resposta

Portanto, o conjunto é linearmente dependente.

Exercícios relacionados