Mostre que se
é um conjunto linearmente dependente de vetores em um espaço vetorial
e se
é um vetor qualquer em
, então
também é linearmente dependente em
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores
que é linearmente dependente em um espaço vetorial
. Além disso, temos um sexto vetor
qualquer em
. Precisamos mostrar que, mesmo adicionando esse sexto vetor, o conjunto
continua sendo linearmente dependente.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente e como essa propriedade se comporta quando adicionamos mais vetores ao conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Dizemos que um conjunto de vetores
é linearmente dependente se existe uma combinação linear desses vetores igual ao vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes na combinação não é zero. Em termos matemáticos:
onde nem todos os
são iguais a zero.
No nosso caso, como
são linearmente dependentes, existe uma combinação desses vetores que resulta no vetor zero, com pelo menos um coeficiente diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos considerar o conjunto aumentado que inclui o sexto vetor
. Queremos mostrar que esse novo conjunto
também é linearmente dependente.
Sabemos que se temos um conjunto linearmente dependente e adicionamos mais vetores a ele, o conjunto resultante também será linearmente dependente. Isso acontece porque a dependência já existente no conjunto original ainda está presente no conjunto aumentado.
Passo 4
Especificamente, já que
são linearmente dependentes, existe pelo menos uma combinação não trivial desses vetores que resulta no vetor zero. Podemos escrever isso como:
onde pelo menos um dos coeficientes
é diferente de zero.
Passo 5
Agora, vamos incluir o sexto vetor
na combinação linear. Podemos simplesmente adicionar
à equação acima:
Essa é uma combinação linear dos vetores
que resulta no vetor zero, e como pelo menos um dos coeficientes
(de
a
) é diferente de zero, temos uma combinação não trivial.
Resposta
Portanto, o conjunto
é linearmente dependente.
Exercícios relacionados
Seja
, onde
é o número imaginário. Escolha uma base ordenada
de
e calcule
nesta base, i.e., calcule
.
Seja
, onde
é o número imaginário. Verifique que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 3.
Calcule uma base para o subespaço do
gerado pelo conjunto
abaixo.
Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) .
b) .
c) .
d) .
a)
b)
c)
d)