Mostre que se é um conjunto linearmente dependente de vetores em um espaço vetorial e se é um vetor qualquer em , então também é linearmente dependente em .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores que é linearmente dependente em um espaço vetorial . Além disso, temos um sexto vetor qualquer em . Precisamos mostrar que, mesmo adicionando esse sexto vetor, o conjunto continua sendo linearmente dependente.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente e como essa propriedade se comporta quando adicionamos mais vetores ao conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Dizemos que um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear desses vetores igual ao vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes na combinação não é zero. Em termos matemáticos:
onde nem todos os são iguais a zero.
No nosso caso, como são linearmente dependentes, existe uma combinação desses vetores que resulta no vetor zero, com pelo menos um coeficiente diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar o conjunto aumentado que inclui o sexto vetor . Queremos mostrar que esse novo conjunto também é linearmente dependente.
Sabemos que se temos um conjunto linearmente dependente e adicionamos mais vetores a ele, o conjunto resultante também será linearmente dependente. Isso acontece porque a dependência já existente no conjunto original ainda está presente no conjunto aumentado.

Passo 4

Especificamente, já que são linearmente dependentes, existe pelo menos uma combinação não trivial desses vetores que resulta no vetor zero. Podemos escrever isso como:
onde pelo menos um dos coeficientes é diferente de zero.

Passo 5

Agora, vamos incluir o sexto vetor na combinação linear. Podemos simplesmente adicionar à equação acima:
Essa é uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero, e como pelo menos um dos coeficientes (de a ) é diferente de zero, temos uma combinação não trivial.

Resposta

Portanto, o conjunto é linearmente dependente.

Exercícios relacionados

Seja , onde é o número imaginário. Escolha uma base ordenada de e calcule nesta base, i.e., calcule .
Seja , onde é o número imaginário. Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 3.
Calcule uma base para o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.
Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) .
b) .
c) .
d) .