Seja o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.
Calcule uma base para contendo o vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar uma base para um subespaço do . Esse subespaço é gerado pelo conjunto que tem os vetores , , e . Além disso, a base que vamos encontrar precisa incluir o vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre combinações lineares e bases, e vamos precisar identificar um conjunto de vetores que sejam lineares e que gerem todo o subespaço .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores do conjunto em uma matriz, onde cada vetor é uma linha da matriz. Isso nos ajuda a visualizar e manipular os vetores mais facilmente:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linha para simplificar essa matriz e identificar quais vetores são realmente necessários para formar a base. Nosso objetivo é deixar a matriz em uma forma onde seja fácil ver quais linhas são independentes. Lembrando que vetores independentes são aqueles que não podem ser escritos como combinação linear dos outros.

Passo 4

Começamos subtraindo a primeira linha das demais para eliminar o primeiro elemento das outras linhas:
  • Linha 2: Linha 2 - Linha 1
  • Linha 3: Linha 3 - Linha 1
  • Linha 4: Linha 4 - 2 * Linha 1
A nova matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos simplificar as linhas resultantes. Podemos dividir a segunda linha por -2 para facilitar:
  • Linha 2: (0, -2, -2, -4) dividido por -2 dá (0, 1, 1, 2)
A matriz fica:

Passo 6

Em seguida, usamos a segunda linha para eliminar os elementos abaixo dela na coluna 2:
  • Linha 3: Linha 3 + 4 * Linha 2 = (0, 0, 0, 0)
  • Linha 4: Linha 4 + 6 * Linha 2 = (0, 0, 0, 0)
A matriz resultante é:

Passo 7

Observamos que as duas últimas linhas se tornaram zero, o que significa que os vetores correspondentes são combinações lineares dos primeiros dois vetores. Portanto, os vetores e são suficientes para gerar o subespaço . No entanto, precisamos garantir que o vetor esteja na nossa base.

Passo 8

Vamos verificar se o vetor pode ser escrito como uma combinação dos vetores que já temos. Se não puder, ele será adicionado à base. Suponhamos que:
Resolvendo isso, vemos que não há valores de e que satisfaçam todas as componentes, o que significa que é independente dos outros vetores.

Passo 9

Então, nossa base final para será formada pelo vetor que queremos incluir e qualquer outro vetor que seja independente dele. Podemos escolher e como nossa base.

Resposta

Uma base para contendo o vetor é:

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Calcule uma base para o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.
Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .
Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
O conjunto é um subespaço do ? Justifique.