Seja E o subespaço do R^4 gerado pelo conjunto S abaixo.
S=(1,4,5,8),(1,2,3,4),(1,0,1,0),(2,2,4,4)
Calcule uma base para E contendo o vetor (1,0,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar uma base para um subespaço E do R^4. Esse subespaço é gerado pelo conjunto S que tem os vetores (1,4,5,8), (1,2,3,4), (1,0,1,0) e (2,2,4,4). Além disso, a base que vamos encontrar precisa incluir o vetor (1,0,1,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre combinações lineares e bases, e vamos precisar identificar um conjunto de vetores que sejam lineares e que gerem todo o subespaço E.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores do conjunto S em uma matriz, onde cada vetor é uma linha da matriz. Isso nos ajuda a visualizar e manipular os vetores mais facilmente:
1 & 4 & 5 & 8 1 & 2 & 3 & 4 1 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & 4 & 4

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linha para simplificar essa matriz e identificar quais vetores são realmente necessários para formar a base. Nosso objetivo é deixar a matriz em uma forma onde seja fácil ver quais linhas são independentes. Lembrando que vetores independentes são aqueles que não podem ser escritos como combinação linear dos outros.

Passo 4

Começamos subtraindo a primeira linha das demais para eliminar o primeiro elemento das outras linhas:
  • Linha 2: Linha 2 - Linha 1
  • Linha 3: Linha 3 - Linha 1
  • Linha 4: Linha 4 - 2 * Linha 1
A nova matriz fica assim:
1 & 4 & 5 & 8 0 & -2 & -2 & -4 0 & -4 & -4 & -8 0 & -6 & -6 & -12

Passo 5

Agora, vamos simplificar as linhas resultantes. Podemos dividir a segunda linha por -2 para facilitar:
  • Linha 2: (0, -2, -2, -4) dividido por -2 dá (0, 1, 1, 2)
A matriz fica:
1 & 4 & 5 & 8 0 & 1 & 1 & 2 0 & -4 & -4 & -8 0 & -6 & -6 & -12

Passo 6

Em seguida, usamos a segunda linha para eliminar os elementos abaixo dela na coluna 2:
  • Linha 3: Linha 3 + 4 * Linha 2 = (0, 0, 0, 0)
  • Linha 4: Linha 4 + 6 * Linha 2 = (0, 0, 0, 0)
A matriz resultante é:
1 & 4 & 5 & 8 0 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 7

Observamos que as duas últimas linhas se tornaram zero, o que significa que os vetores correspondentes são combinações lineares dos primeiros dois vetores. Portanto, os vetores (1,4,5,8) e (0,1,1,2) são suficientes para gerar o subespaço E. No entanto, precisamos garantir que o vetor (1,0,1,0) esteja na nossa base.

Passo 8

Vamos verificar se o vetor (1,0,1,0) pode ser escrito como uma combinação dos vetores que já temos. Se não puder, ele será adicionado à base. Suponhamos que:
(1,0,1,0) = a(1,4,5,8) + b(0,1,1,2)
Resolvendo isso, vemos que não há valores de a e b que satisfaçam todas as componentes, o que significa que (1,0,1,0) é independente dos outros vetores.

Passo 9

Então, nossa base final para E será formada pelo vetor que queremos incluir e qualquer outro vetor que seja independente dele. Podemos escolher (1,4,5,8) e (1,0,1,0) como nossa base.

Resposta

Uma base para E contendo o vetor (1,0,1,0) é:
, (1, 4, 5, 8), , (1, 0, 1, 0) ,

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