Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar uma base para um subespaço do . Esse subespaço é gerado pelo conjunto que tem os vetores , , e . Além disso, a base que vamos encontrar precisa incluir o vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre combinações lineares e bases, e vamos precisar identificar um conjunto de vetores que sejam lineares e que gerem todo o subespaço .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores do conjunto em uma matriz, onde cada vetor é uma linha da matriz. Isso nos ajuda a visualizar e manipular os vetores mais facilmente:
Passo 3
Agora, vamos realizar operações de linha para simplificar essa matriz e identificar quais vetores são realmente necessários para formar a base. Nosso objetivo é deixar a matriz em uma forma onde seja fácil ver quais linhas são independentes. Lembrando que vetores independentes são aqueles que não podem ser escritos como combinação linear dos outros.
Passo 4
Começamos subtraindo a primeira linha das demais para eliminar o primeiro elemento das outras linhas:
Observamos que as duas últimas linhas se tornaram zero, o que significa que os vetores correspondentes são combinações lineares dos primeiros dois vetores. Portanto, os vetores (1,4,5,8) e (0,1,1,2) são suficientes para gerar o subespaço E. No entanto, precisamos garantir que o vetor (1,0,1,0) esteja na nossa base.
Passo 8
Vamos verificar se o vetor (1,0,1,0) pode ser escrito como uma combinação dos vetores que já temos. Se não puder, ele será adicionado à base. Suponhamos que:
(1,0,1,0) = a(1,4,5,8) + b(0,1,1,2)
Resolvendo isso, vemos que não há valores de a e b que satisfaçam todas as componentes, o que significa que (1,0,1,0) é independente dos outros vetores.
Passo 9
Então, nossa base final para E será formada pelo vetor que queremos incluir e qualquer outro vetor que seja independente dele. Podemos escolher (1,4,5,8) e (1,0,1,0) como nossa base.