Seja T: R^3 R^3 a transformação linear T(x)=A x dada pela matriz A abaixo. Calcule uma base para a imagem de T, i.e., para T(R^3) subset R^3.
A=(ccc 1 & 2 & -3 1 & 1 & 2 1 & 2 & -2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear definida pela matriz . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de , que é basicamente o conjunto de todos os vetores que pode “alcançar” em .
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaço coluna e independência linear. Vamos analisar quais colunas da matriz são necessárias para formar essa base.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 2 & -3 1 & 1 & 2 1 & 2 & -2 :
A imagem de , ou seja, , é o espaço formado pelas combinações lineares das colunas de . Para achar uma base para esse espaço, precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos verificar se as colunas de v1 = 1 1 1 , v2 = 2 1 2 , v3 = -3 2 -2 são linearmente independentes. Para isso, colocamos as colunas como vetores e verificamos se algum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Se não puder, estão independentes.
Vamos chamar as colunas de a cdot 1 + b cdot 2 = -3 a cdot 1 + b cdot 1 = 2 a cdot 1 + b cdot 2 = -2 de :
Queremos ver se existe tais que . Vamos montar as equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: (2 - b) + 2b = -3 2 + b = -3 b = -5 7 + 2(-5) = 7 - 10 = -3 neq -2 .
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Agora, verificamos na terceira equação:
Isso significa que não existe combinação linear de e que resulte em . Portanto, é linearmente independente das outras duas.

Passo 5

Como todas as três colunas são linearmente independentes, cada uma delas contribui para a imagem de . Mas lembre-se que o espaço imagem está em , e temos três vetores independentes, o que significa que a imagem de é todo o espaço .
No entanto, é importante confirmar se realmente não há dependência. Vamos verificar o posto da matriz fazendo sua redução para escada.

Passo 6

Vamos realizar a eliminação de Gauss na matriz A = 1 & 2 & -3 1 & 1 & 2 1 & 2 & -2 :
R2 = R2 - R1 Rightarrow 0 & -1 & 5 R3 = R3 - R1 Rightarrow 0 & 0 & 1
Subtraímos a primeira linha das demais:
1 & 2 & -3 0 & -1 & 5 0 & 0 & 1
Agora, a matriz fica:
Como não há linhas nulas, o posto da matriz é 3, confirmando que as três colunas são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para a imagem de , 1 1 1 , 2 1 2 , -3 2 -2 , é formada pelas três colunas da matriz :

Exercícios relacionados