Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear definida pela matriz . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de , que é basicamente o conjunto de todos os vetores que pode “alcançar” em .
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaço coluna e independência linear. Vamos analisar quais colunas da matriz são necessárias para formar essa base.
A imagem de , ou seja, , é o espaço formado pelas combinações lineares das colunas de . Para achar uma base para esse espaço, precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos verificar se as colunas de v1 = 1 1 1 , v2 = 2 1 2 , v3 = -3 2 -2 são linearmente independentes. Para isso, colocamos as colunas como vetores e verificamos se algum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Se não puder, estão independentes.
Vamos chamar as colunas de a cdot 1 + b cdot 2 = -3 a cdot 1 + b cdot 1 = 2 a cdot 1 + b cdot 2 = -2 de :
Queremos ver se existe tais que . Vamos montar as equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: (2 - b) + 2b = -3 2 + b = -3 b = -5 → 7 + 2(-5) = 7 - 10 = -3 neq -2 .
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Agora, verificamos na terceira equação:
Isso significa que não existe combinação linear de e que resulte em . Portanto, é linearmente independente das outras duas.
Passo 5
Como todas as três colunas são linearmente independentes, cada uma delas contribui para a imagem de . Mas lembre-se que o espaço imagem está em , e temos três vetores independentes, o que significa que a imagem de é todo o espaço .
No entanto, é importante confirmar se realmente não há dependência. Vamos verificar o posto da matriz fazendo sua redução para escada.
Passo 6
Vamos realizar a eliminação de Gauss na matriz A = 1 & 2 & -3 1 & 1 & 2 1 & 2 & -2 :