Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear definida pela matriz . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de , que é basicamente o conjunto de todos os vetores que pode “alcançar” em .
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaço coluna e independência linear. Vamos analisar quais colunas da matriz são necessárias para formar essa base.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
A imagem de , ou seja, , é o espaço formado pelas combinações lineares das colunas de . Para achar uma base para esse espaço, precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos verificar se as colunas de são linearmente independentes. Para isso, colocamos as colunas como vetores e verificamos se algum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Se não puder, estão independentes.
Vamos chamar as colunas de de :
Queremos ver se existe tais que . Vamos montar as equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: → .
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Agora, verificamos na terceira equação:
Isso significa que não existe combinação linear de e que resulte em . Portanto, é linearmente independente das outras duas.
Passo 5
Como todas as três colunas são linearmente independentes, cada uma delas contribui para a imagem de . Mas lembre-se que o espaço imagem está em , e temos três vetores independentes, o que significa que a imagem de é todo o espaço .
No entanto, é importante confirmar se realmente não há dependência. Vamos verificar o posto da matriz fazendo sua redução para escada.
Passo 6
Vamos realizar a eliminação de Gauss na matriz :
Subtraímos a primeira linha das demais:
Agora, a matriz fica:
Como não há linhas nulas, o posto da matriz é 3, confirmando que as três colunas são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para a imagem de é formada pelas três colunas da matriz :