Calcule.
c)
c)
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a integral definida de
de
até
. O conteúdo que vamos usar aqui é de funções racionais e integração por frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e reescrever a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então, temos:
Passo 3
Agora, reescrevemos a fração
em termos de frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema, encontramos que
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Como estamos calculando uma integral definida de
até
, vamos aplicar os limites:
Passo 5
Vamos substituir os limites:
Para :
Para
Para
:
Agora, subtraímos os valores:
Simplificando: