Calcule.
c) integral-1^1 xx^2-5 x+6 d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral definida de de até . O conteúdo que vamos usar aqui é de funções racionais e integração por frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e reescrever a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, temos:

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração x(x - 2)(x - 3) = Ax - 2 + Bx - 3 em termos de frações parciais. Queremos encontrar constantes x = A(x - 3) + B(x - 2) e x = Ax - 3A + Bx - 2B tais que:
x = (A + B)x - (3A + 2B)
Multiplicando ambos os lados por A + B = 1 e -3A - 2B = 0 , temos:
x(x - 2)(x - 3) = 2x - 2 - 1x - 3
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema, encontramos que e . Então:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( 2x - 2 - 1x - 3 ) dx = 2 ln|x - 2| - ln|x - 3| + C
Como estamos calculando uma integral definida de [ 2 ln|x - 2| - ln|x - 3| ]-1^1 até , vamos aplicar os limites:

Passo 5

Vamos substituir os limites:
Para 2 ln|1 - 2| - ln|1 - 3| = 2 ln(1) - ln(2) = 0 - ln(2) = -ln(2) :
2 ln|-1 - 2| - ln|-1 - 3| = 2 ln(3) - ln(4)
Para - ln(2) - [2 ln(3) - ln(4)] = -ln(2) - 2ln(3) + ln(4) :
ln(4) - ln(2) - 2ln(3) = ln(42) - ln(9) = ln(2) - ln(9) = ln(29)
Agora, subtraímos os valores:
Simplificando:

Resposta

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