Calcule.
© integral0^3 d x1+raizx+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida . Aqui, estamos lidando com integrais definidas, que é um assunto de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar integral1^4 du1+raizu . Isso significa que . Agora, quando , então , e quando , . Assim, nossa integral fica:

Passo 3

Ainda precisamos simplificar mais. Vamos fazer outra substituição: seja integral 2t,dt1 + t . Então, e . Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Agora, vamos dividir a fração para facilitar a integração. Podemos separar a expressão assim:
2t1 + t = 2 - 21 + t
Então, a integral fica:
integral (2 - 21 + t) dt = 2t - 2ln|1 + t| + C

Passo 5

Vamos agora voltar às variáveis originais. Lembrando que [2(2) - 2ln(3)] - [2(1) - 2ln(2)] = (4 - 2ln3) - (2 - 2ln2) e , então . Mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular os limites para :
Quando , , então .
Quando , , então .
Agora, avaliamos a expressão de 1 a 2:

Passo 6

Simplificando a expressão:
4 - 2ln3 - 2 + 2ln2 = 2 - 2ln3 + 2ln2
Podemos fatorar o 2:
2(1 - ln3 + ln2) = 2(1 + ln23)

Resposta

A integral é igual a , ou aproximadamente 1,19.

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