Calcule.
(f) integral0^pi x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de 0 a . Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nessa fórmula, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . A escolha correta facilita bastante a resolução.

Passo 3

Vamos identificar v = integral cos x , dx = sin x e na nossa integral :
  • Escolha . Assim, a derivada de , que é , será .
  • Então, o que sobra é . Para encontrar , precisamos integrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x cos x , dx = u v - integral v , du = x sin x - integral sin x , dx
A integral que resta é , que é simples de resolver.

Passo 5

Integrando integral sin x , dx = -cos x , temos:
integral x cos x , dx = x sin x - (-cos x) = x sin x + cos x + C
Então, substituindo de volta na expressão anterior:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, como nossa integral é definida de 0 a [ x sin x + cos x ]0^pi = (pi sin pi + cos pi) - (0 sin 0 + cos 0) , vamos calcular:
Sabemos que:

Passo 7

Substituindo esses valores:
(pi times 0 + (-1)) - (0 times 0 + 1) = (-1) - (1) = -2

Resposta

A integral é igual a -2.

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