Calcule.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de
de 0 a
. Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Nessa fórmula, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. A escolha correta facilita bastante a resolução.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa integral
:
- Escolha
. Assim, a derivada de , que é , será . - Então, o que sobra é
. Para encontrar , precisamos integrar :
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
A integral que resta é
, que é simples de resolver.
Passo 5
Integrando
, temos:
Então, substituindo de volta na expressão anterior:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, como nossa integral é definida de 0 a
, vamos calcular:
Sabemos que:
Passo 7
Substituindo esses valores:
Resposta
A integral
é igual a -2.