Calcule.
(o) integral0^2 x^21+x^3 d x

Passo 1

Vamos resumir o exercício e identificar o que precisamos para resolver. Precisamos calcular a integral definida de 0 a 2 da função em relação a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Vamos utilizar essa técnica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma substituição adequada. Observamos que o denominador u = 1 + x^3 está relacionado ao numerador . Vamos definir uma nova variável igual a :

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 dx para encontrar x^2 dx = du3 :
Isso significa que:
Portanto, podemos isolar :

Passo 4

Vamos substituir integral0^2 x^21+x^3 dx = integral du3u = 13 integral duu e na integral original:

Passo 5

A integral de 13 integral duu = 13 ln|u| em relação a é . Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante de integração:

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original 13 ln|1 + x^3| :

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
13 ln(1 + x^3) |0^2 = 13 ln(1 + 2^3) - 13 ln(1 + 0^3)
Calculando os valores:
= 13 ln(9) - 13 ln(1)
Como = 13 ln(9) :

Resposta

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