Calcule as integrais usando integração por partes.
(b) integral x^2 ln x d x

Passo 1

Aqui a gente precisa calcular a integral usando a técnica de integração por partes. Esse método faz parte do conteúdo de Cálculo Integral e é muito útil quando a integral é o produto de duas funções. Para resolver, vamos identificar quais partes da função serão e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Lembra que a fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, vamos escolher:
u = ln x e dv = x^2 , dx
Escolhemos porque sua derivada é mais simples, e porque é fácil de integrar.

Passo 3

Agora, vamos derivar u = ln x Rightarrow du = 1x , dx e integrar dv = x^2 , dx Rightarrow v = integral x^2 , dx = x^33 :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
= x^3 ln x3 - 13 integral x^2 , dx

Passo 5

Vamos integrar integral x^2 , dx = x^33 :
x^3 ln x3 - 13 cdot x^33 = x^3 ln x3 - x^39
Então, substituímos de volta:

Passo 6

Não podemos esquecer da constante de integração integral x^2 ln x , dx = x^3 ln x3 - x^39 + C :

Resposta

Portanto, a integral x^3 ln x3 - x^39 + C é igual a:

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