Determine a massa: de uma lâmina semicircular cuja densidade em qualquer ponto é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa de uma lâmina semicircular onde a densidade em cada ponto é dada por . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular massas de objetos com densidade variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos trabalhando. É uma lâmina com formato semicircular. Vamos supor que o semicirculo está centrado na origem e tem raio . Isso facilita na hora de definir os limites da integração. Se não foi dado o raio, precisamos considerar que ele é definido pelo contexto do problema ou pode ser assumido como 1 para simplificar. Aqui, vamos assumir que o raio é .

Passo 3

Agora, para encontrar a massa da lâmina, usamos a fórmula da integral dupla:
Onde é a região do semicirculo e é a densidade em cada ponto.

Passo 4

Para facilitar a integração, é melhor mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, as relações são:
Como estamos trabalhando com um semicirculo, vai de a (180 graus), e vai de a .

Passo 5

Vamos substituir e na integral:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a . Podemos usar a identidade trigonométrica:
Então:

Passo 8

Perceba que a integral de de a resultou em . Isso significa que a massa total da lâmina semicircular é . Isso acontece porque a densidade é simétrica e positiva em alguns quadrantes e negativa em outros, cancelando-se no total.

Resposta

A massa da lâmina semicircular é .

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Calcule:
(e) , onde
Calcule:
© , onde
Estime o valor das seguintes integrais:
©
Estime o valor das seguintes integrais:
(d)