Determine a massa: de uma lâmina semicircular cuja densidade em qualquer ponto é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa de uma lâmina semicircular onde a densidade em cada ponto é dada por
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular massas de objetos com densidade variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos trabalhando. É uma lâmina com formato semicircular. Vamos supor que o semicirculo está centrado na origem e tem raio
. Isso facilita na hora de definir os limites da integração. Se não foi dado o raio, precisamos considerar que ele é definido pelo contexto do problema ou pode ser assumido como 1 para simplificar. Aqui, vamos assumir que o raio é
.
Passo 3
Agora, para encontrar a massa da lâmina, usamos a fórmula da integral dupla:
Onde
é a região do semicirculo e
é a densidade em cada ponto.
Passo 4
Para facilitar a integração, é melhor mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, as relações são:
Como estamos trabalhando com um semicirculo,
vai de
a
(180 graus), e
vai de
a
.
Passo 5
Vamos substituir
e
na integral:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
. Podemos usar a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 8
Perceba que a integral de
de
a
resultou em
. Isso significa que a massa total da lâmina semicircular é
. Isso acontece porque a densidade
é simétrica e positiva em alguns quadrantes e negativa em outros, cancelando-se no total.
Resposta
A massa da lâmina semicircular é
.
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Calcule:
(e) , onde
(e)
Calcule:
© , onde
©
Estime o valor das seguintes integrais:
©
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Estime o valor das seguintes integrais:
(d)
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